Wavelet

Wavelet

Il concetto di wavelet (ondina) fu introdotto per la prima volta dal geofisico francese J. Morlet attorno al 1975. Insieme al fisico francese A. Grossmann, Morlet mise a punto, agli inizi degli anni Ottanta, la trasformata wavelet continua. Verso la metà degli anni Ottanta, con i lavori di Y. Meyer e S. Mallat, fu introdotto il concetto di analisi multirisoluzione con le prime basi di w. e vennero poste le basi matematiche dell'analisi tramite wavelet. La studiosa belga I. Daubechies introdusse alla fine degli anni Ottanta del secolo scorso le basi di wavelets ortogonali a supporto compatto e, agli inizi degli anni Novanta, in collaborazione con il matematico francese A. Cohen, il concetto di basi di wavelets biortogonali.

Le applicazioni pratiche delle w. sono molte e furono riconosciute immediatamente. Le proprietà delle w. permettono di poter studiare l'appartenenza o meno di una funzione data a numerosi spazi di funzione e possono essere utilizzate per studiare la dimensione frattale di una curva. Nella compressione dei segnali e delle immagini, la trasformata w. rapida applicata alla successione dei valori campionati del segnale in ingresso ha la proprietà di separare le diverse bande di frequenza, al pari della trasformata di Fourier, ma, diversamente da quest'ultima, in maniera locale, dimostrando quindi una maggior efficienza. Questa proprietà trova anche applicazione nel campo della rimozione del rumore (denoising). Un'altra importante applicazione è quella dell'analisi dei segnali: lo studio della trasformata w. (sia in forma continua sia discreta) di un segnale ne rivela caratteristiche che lo studio diretto del segnale stesso non evidenzia. Anche in questo caso, cioè, quello che la trasformata di Fourier ottiene viene migliorato sfruttando le proprietà di localizzazione nello spazio della trasformata wavelet. Applicazioni si trovano, per es., nello studio dei segnali sismici, dei segnali medici (elettrocardiogrammi, elettroencefalogrammi, TAC), dei segnali audio (dove si preferisce l'uso dei cosiddetti pacchetti di w.), e delle immagini (per problemi come il riconoscimento di forme o il riconoscimento dei bordi). Altre applicazioni si hanno nello studio della turbolenza, nella meteorologia, nella paleoclimatologia, oltre che nello studio dei metodi per la risoluzione approssimata di equazioni alle derivate parziali.

Le basi di wavelets

Le basi di w. sono sistemi di funzioni reali di variabile reale ottenuti da un'unica funzione (w. madre) mediante traslazioni di un intero e contrazioni o dilatazioni di un fattore 2^j (con j intero relativo) e tali che tutte le funzioni di una particolare classe (più precisamente, le funzioni a quadrato integrabile) si possano ottenere come loro combinazione lineare (cioè come serie di tali funzioni moltiplicate per opportuni coefficienti dipendenti dalla funzione considerata). Più precisamente, una base di w. richiede l'esistenza di una funzione ψ(x) definita sulla retta reale R tale che, indicando con ψj,k(x)=(2^j)^1/2ψ(2^jx−k) le sue traslate e dilatate (j〈0) o contratte (j>0), tutte le altre funzioni f a quadrato integrabile possano essere espresse mediante lo sviluppo in serie di wavelet

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dove i coefficienti jj,k determinano univocamente f e ne sono univocamente determinati. Per di più dovranno esistere due costanti positive A e B indipendenti da f tali che

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In altre parole, l'insieme delle w. ψj,k(x) dovrà formare una base di Riesz per lo spazio delle funzioni a quadrato integrabile sulla retta reale R.

La funzione ψ(x) si dice wavelet o ondina madre e l'insieme di funzioni {ψj,k, j,k∈Z} è detto base di wavelet o di ondine. Per poter parlare di base di w. propriamente detta si richiede che la funzione ψ(x) verifichi le proprietà fondamentali di localizzazione, regolarità e oscillazione.

Localizzazione (o decrescenza rapida) e regolarità (o continuità): per ogni intero positivo n deve esistere una costante positiva Cn per la quale si abbia la disuguaglianza |ψ(x)|≤Cn[1/(1+|x|)ⁿ]. Una proprietà dello stesso tipo deve valere per tutte le derivate di ψ(x) fino all'ordine r, dove r è un parametro detto regolarità della wavelet.

Oscillazione (o localizzazione in frequenza): la funzione ψ(x) deve verificare per tutti gli interi n=0,..., m⁻1 l'identità; il parametro m è detto numero di momenti nulli della w. ed è strettamente legato al numero di oscillazioni di ψ(x). Dato che gli elementi della base di w. sono ottenuti per contrazione e dilatazione dalla w. madre, essi avranno le stesse oscillazioni della w. madre ψ(x), più o meno concentrate a seconda del valore di j: per j grande ψj,k(x) oscillerà in maniera molto concentrata e con frequenza molto alta, mentre per j negativo la frequenza sarà bassa e l'oscillazione sarà distribuita su di un intervallo molto ampio. La maggior parte delle basi di w. è costruita a partire da un'analisi multirisoluzione, definita come una successione {Vj, j∈Z} di sottospazi chiusi dello spazio delle funzioni a quadrato integrabile che verifichi le seguenti proprietà: Vj⊂Vj+1 per qualsivoglia j; ogni funzione a quadrato integrabile definita sulla retta reale può essere approssimata arbitrariamente bene con una funzione di Vj pur di prendere j abbastanza grande; esiste una funzione φ∈V0 (detta funzione di scala o wavelet padre) tale che φ e le sue derivate fino all'ordine r siano a decrescenza rapida, e che le funzioni φj,k=(2^j)^1/2φ(2^jx−k) formino, a j fissato, una base di Riesz per Vj. La funzione di scala verifica un'equazione di dilatazione o di raffinamento (anche detta equazione a due scale) della forma

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I coefficienti ak che appaiono nell'equazione di dilatazione vengono detti coefficienti di dilatazione o di scala e caratterizzano la funzione di scala in maniera univoca. Per costruire la base di w. si introduce un sottospazio di dettagli Wj⊂Vj+1 tale che ogni elemento f di Vj+1 si possa decomporre in un unico modo come f=f^j+d^j con f^j in Vj e d^j in Wj. Si può costruire una w. madre ψ per la quale l'insieme {ψj,k, k∈Z} a j fissato forma una base di Riesz per lo spazio Wj. La funzione ψ(x) verifica un'equazione della forma

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La successione dei coefficienti {ck, k∈Z} è detta filtro wavelet (e, nella terminologia del trattamento di segnali, può essere effettivamente interpretata come un filtro passabanda). Se lo spazio Wj è ortogonale allo spazio Vj (cioè se per ogni f in Vj e ogni d^j in Wj) si parlerà di wavelets semiortogonali. Se, in più, le funzioni ψj,k(x) sono mutuamente ortogonali si parlerà di wavelets ortogonali. Nel caso di w. ortogonali, il filtro w. e i coefficienti di scala sono legati dalla relazione ck=(−1)^ka1−k. Nel caso in cui le w. non siano ortogonali vale una relazione analoga nella quale i coefficienti di scala {ak, k∈Z} sono sostituiti da altri coefficienti di scala, corrispondenti a una seconda analisi multirisoluzione, che viene detta duale o biortogonale alla prima. In questo caso il ruolo delle due analisi multirisoluzione è perfettamente speculare e si parla di coppia di analisi multirisoluzione biortogonali. Esisteranno quindi un'altra funzione di scala e un'altra w. madre corrispondenti alla seconda analisi multirisoluzione. In particolare, avremo due basi di w. {ψj,k, k∈Z} e che verranno anch'esse dette biortogonali perché verificheranno la relazione (detta appunto di biortogonalità)

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La trasformata wavelet

Una delle proprietà fondamentali delle w. è l'esistenza della trasformata wavelet rapida o fast wavelet transform (FWT). Essa permette di passare da una successione di valori campionati di una funzione f, o, più rigorosamente, dai coefficienti dello sviluppo in serie di funzioni scala di una sua approssimazione f^j+1 in Vj+1

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ai coefficienti del suo sviluppo in serie di wavelet. La trasformata è rapida, dal momento che tratta una successione di N valori campionati con un numero di operazioni direttamente proporzionale a N. Ricordiamo che, data una w. madre, si può definire anche una trasformata wavelet continua: la trasformata w. di una funzione è la funzione a due variabili

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Questa trasformata è invertibile; data W(a,b), si può ricostruire f mediante la formula seguente

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Esempi di basi di wavelets

Le wavelets di Haar sono l'esempio più semplice e più antico di base di wavelet. Esse furono introdotte da A. Haar nel 1910, più di sessant'anni prima che il concetto di w. venisse formulato, e sono costruite a partire dall'analisi multirisoluzione delle funzioni costanti a tratti. In questo caso Vj è definito come lo spazio delle funzioni che assumono valore costante su ogni intervallo [k/2^j, (k+1) 2^j]; un intervallo di tale forma viene detto intervallo diadico. La funzione di scala φ è in questo caso la funzione che vale 1 nell'intervallo (0,1) e zero al di fuori: essa verifica l'equazione di dilatazione φ(x)=φ(2x)+φ(2x−1). I coefficienti di dilatazione sono quindi a0=a1=(2)^1/2/2 e ak=0, per k〈0 e k>1. La w. madre corrispondente è la funzione ψ che vale 1 nell'intervallo (0,1/2), −1 nell'intervallo (1/2,1), mentre è identicamente nulla al di fuori di (0,1). Il filtro w. è, in questo caso, c0=(2)^1/2/2, c1=−(2)^1/2/2 e ck=0, per k〈0 e k>1. La base di Haar è una base di w. ortogonali.

Le wavelets di Daubechies, introdotte dalla studiosa nel 1988, sono una classe di basi di w. ortogonali caratterizzate dall'avere sia la funzione di scala sia la w. madre a supporto compatto (vale a dire identicamente uguali a zero al di fuori di un intervallo di lunghezza L). Questa proprietà è equivalente al fatto che il filtro w. sia di lunghezza finita. È possibile costruire w. di Daubechies con un numero arbitrario di momenti nulli, o con regolarità arbitraria. Il numero di momenti nulli e la regolarità sono direttamente proporzionali; entrambi sono legati da una relazione analoga alla lunghezza L del supporto. Contrariamente a quanto avviene nel caso della w. di Haar, le w. di Daubechies non sono in genere esprimibili direttamente mediante una formula matematica, ma si definiscono come soluzione di un'equazione di dilatazione della quale sono dati i coefficienti di scala. Si tenga presente che le w. di Haar sono un caso particolare di w. di Daubechies.

La wavelet di Meyer, corrispondente all'analisi multirisoluzione di Littlewood-Paley, è una w. di regolarità infinita (la sua trasformata di Fourier ha supporto compatto), e con infiniti momenti nulli.

Le wavelets spline sono una particolare classe di w. biortogonali. L'analisi multirisoluzione corrispondente è quella delle w. spline di grado m⁻1 (funzioni polinomiali a tratti di grado m⁻1 e con derivate continue fino all'ordine m⁻2). L'analisi multirisoluzione che forma con {Vj, j∈Z} una coppia di analisi multirisoluzione biortogonali può essere scelta di regolarità arbitraria.

Esistono numerose altre classi di w. (coiflets, interpolets o wavelet interpolanti, symlets ecc.) e loro generalizzazioni (multi-wavelet, wavelet packets, wavelet di Malvar). Inoltre il concetto di base di w., che qui abbiamo descritto sulla retta reale, può essere adattato a dimensioni maggiori di uno per prodotto tensoriale nonché all'intervallo e, più in generale, a domini limitati in Rⁿ.

bibliografia

Y. Meyer. Ondelettes et opérateurs, 3 voll., Paris 1990-91.

A. Cohen, Ondelettes et traitement numérique du signal, Paris 1992.

I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, Philadelphia 1992.

E. Hernández, G. Weiss, A first course on wavelets, Boca Raton 1996.

G. Strang, T. Nguyen, Wavelets and filter banks, Wellesley (MA) 1996.

S.G. Mallat, A wavelet tour of signal processing, San Diego 1998.