VARIETA
VARIETA
. Matematica. - Lo studio dei più diversi tipi di varietà spaziali ed iperspaziali (v. iperspazio, XIX, p. 473) è stato fruttuosamente continuato negli ultimi anni sotto svariati aspetti: nel campo topologico, in quello della geometria delle trasformazioni birazionali (geometria algebrica), nell'ambito della geometria differenziale. E ciò, sia nel senso di un sempre maggiore approfondimento dello studio di enti particolari, sia tentando di costruire strumenti adatti allo studio delle questioni più generali.
Nel campo della geometria algebrica (v. xvI, p. 634 e XXXIII, p. 9), sono stati oggetto di penetranti ricerche soprattutto i problemi geometrici concernenti i sistemi continui (in particolare lineari) di curve o di gruppi di punti sopra una superficie ed i sistemi continui di varietà subordinate ad una data varietà algebrica ambiente. La nuova teoria delle serie e dei sistemi di equivalenza creata da F. Severi a partire dal 1931, offre lo strumento più adeguato per queste ricerche. Tale teoria ha in particolare permesso di estendere alle varietà algebriche l'intera teoria delle corrispondenze tra curve, che già in passato era arrivata ad un alto grado di perfezione, nonché di conferire un significato funzionale a tutti i problemi della geometria numerativa (v. XVI, p. 635), in connessione anche con la cosiddetta teoria della base dello stesso Severi. La caratterizzazione dal punto di vista trascendente delle serie e dei sistemi di equivalenza sulle varietà, s'intreccia poi profondamente con la teoria degli integrali delle forme differenziali di grado qualunque, la quale a sua volta ha ricevuto recentemente il più grande impulso dallo studio dei cosiddetti integrali armonici (W. V. D. Hodge), che hanno un grande interesse anche nel campo topologico.
In un ambito più particolare ma di non minore difficoltà, vanno menzionati: il risultato di G. Fano, che ha dimostrato l'irrazionalità della superficie cubica generale dello spazio a quattro dimensioni, questione che si era affacciata nella geometria algebrica da oltre mezzo secolo; una nuova sistemazione della teoria delle funzioni e delle varietà abeliane dovuta a F. Conforto; la costruzione della teoria delle funzioni e delle varietà quasi abeliane compiuta da F. Severi.
Nel campo differenziale, numerose ricerche di E. Bompiani tendono a collegare la geometria algebrica alla geometria differenziale con lo studio sistematico delle proprietà differenziali caratterizzanti enti algebrici. Numerose le ricerche sugli spazî a connessione affine o proiettiva.
Bibl.: E. Bortolotti, Spazi e connessione proiettiva, Roma 1941; F. Conforto, Lo stato attuale della teoria dei sistemi di equivalenza e della teoria delle corrispondenze algebriche tra varietà, in Atti del Convegno matematico, Roma 8-12 novembre 1942; id., Funzioni abeliane e matrici di Riemann, p. I, Roma 1942; G. Fano, Nuove ricerche sulle varietà algebriche a tre dimensioni a curve sezioni canoniche, in Commentationes Pontificiae Academiae Scientiarum, II, 1947; W. V. D. Hodge, The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge 1941; F. Severi, I fondamenti della geometria numerativa, in Annali di matematica, s. 4, XIX, 1940; id., Serie, sistemi d'equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche, a cura di F. Conforto ed E. Martinelli, Vol. I, Roma 1942; id., Sul teorema fondamentale dei sistemi continui di curve sopra una superficie algebrica, in Annali di matematica, s. 4, XXIII, 1944; id., Funzioni quasi abeliane, in Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta varia, 1947.