VARIETÀ

VARIETÀ (App. II, 11, p. 1089)

In geometria il termine v. è comunemente inteso in due differenti accezioni: v. algebrica (per la quale rinviamo alla voce geometria: Geometria algebrica, in questa App.) e v. topologica, a cui ci riferiamo quasi esclusivamente, rinviando, per le nozioni occorrenti, alle voci algebra, spazio, e topologia, di questa Appendice.

1. - Varietà topologiche. - V. topologica di dimensione n è uno spazio di Hausdorff paracompatto (cfr. la voce topologia, in questa App.) X, localmente isomorfo alla parte interna di una sfera piena a n dimensioni.

Conseguenza notevolissima della definizione precedente è la dualità di Poincaré, secondo la quale esiste un isomorfismo naturale (cfr. applicazione, in questa App.) fra il p-esimno gruppo di omologia singolare H_p(X, R₂), a coefficienti interi ridotti modulo 2, e l'(n-p)-esimo gruppo di coomologia H^-p(X, R₂) a supporti compatti ed a coefficienti interi modulo 2. La dualità di Poincaré può formularsi più in generale considerando gruppi di coomologia a supporti appartenenti a una preassegnata opportuna famiglia di sottoinsiemi di X, non necessariamente coincidente con quella di tutti i compatti. Qualora la v. sia orientabile (e su questa nozione torneremo a proposito delle v. differenziabili), i coefficienti possono assumersi interi, oppure appartenenti ad un corpo numerico qualsiasi

La dualità di Poincaré potenzia lo strumento omologico nello studio delle v. topologiche (ad esempio nella teoria dei punti uniti di Lefschetz), sì che si pone in modo naturale il problema di allargare la definizione di v. in guisa da includere spazî topologici più generali (ad esempio le orbite di certi gruppi di trasformazioni), per i quali tuttavia la dualità di Poincaré continui a sussistere. Tale problema venne affrontato indipendentemente da E. Cech e da S. Lefschetz nel 1933, e successivamente da R. L. Wilder in una serie di lavori culminanti nel trattato citato nella bibliografia, nel quale viene posta la definizione di v. generalizzata, quale spazio di Hausdorff paracompatto, localmente compatto, di dimension finita n, avente l'omologia locale di una varietà, ossia, più precisamente avente i numeri di Betti locali eguali all'unità nella dimensione n, e nulli in tutte le altre dimensioni.

Il primo approccio allo studio dell'omologia di una v. topologica venne compiuto su v. compatte nelle quali fosse possibile inscrivere un complesso simpliciale finito. Non si sa ancora se questa condizione di triangolabilità sia effettivamente restrittiva. È stato dimostrato che essa non comporta alcuna restrizione per le v. differenziabili, mentre un'analoga verifica per v. topologiche generali è riuscita fino ad ora soltanto per i primi tre valori della dimensione. Tuttavia teorie dell'omologia più potenti di quella simpliciale hanno oggi alquanto ristretto l'interesse del problema della triangolabilità, in quanto permettono di studiare direttamente le proprietà algebrico-topologiche delle v., senza ricorrere ad alcun complesso simpliciale reticolante.

2. - Varietà dotate di strutture addizionali. - Una v. differenziabile di dimensione n e classe C^r (con r intero assoluto) è una v. topologica X di dimensione n, sulla quale è assegnata una famiglia &scr;F = &scr;F(X) di funzioni a valori reali, definite su X, soddisfacente alle seguenti tre condizioni.

a) &scr;F è locale: cioè se una funzione a valori reali, f, è tale che per ogni punto x di X, esiste una funzione di &scr;F coincidente con f in un intorno di x, allora f appartiene a &scr;F;

b) &scr;F è differenziabilmente completa: cioè se f₁, ..., f_k sono k elementi di &scr;F, e se F è una funzione di classe C^r (ossia continua insieme a tutte le derivate fino a quelle di ordine r) definita nello spazio euclideo reale a k dimensioni R^k, allora la funzione F(f₁, ..., f_k) appartiene a &scr;F.

c) Per ogni punto x di X esistono n funzioni f₁, ..., f_n di &scr;F; tali che la rappresentazione y →(f₁(y), ..., f_n(y)) sia un omeomorfismo di un intorno U_x di x su un insieme aperto di Rⁿ, e che ogni funzione f di &scr;F coincida in U_x con una funzione F(f₁, ..., f_n), ove F è di classe C^r in Rⁿ.

Qualora le condizioni b) e c) siano soddisfatte da tutte le funzioni F continue in R^k o Rⁿ insieme alle derivate di tutti gli ordini, X dicesi di classe C^∞.

Le funzioni f₁, ..., f_n diconsi coordinate locali nell'intorno U_x. In base alle condizioni b) e c), le coordinate locali in due intorni aventi una parte comune non vuota V, sono funzioni le une delle altre, definite in V, di classe C^r, con determinante jacobiano non nullo in ogni punto di V. Qualora sia possibile ricoprire X con sistemi di coordinate locali, i quali, nelle parti comuni, diano luogo a determinanti jacobiani aventi il medesimo segno, la v. X dicesi orientabile.

M. A. Kervaire ha dimostrato, nel 1960, che esistono v. topologiche compatte sulle quali non è possibile introdurre alcuna struttura di v. differenziabile (compatibile con la struttura topologica).

Date due v. differenziabili X e Y, di dimensione n e classe C^r (r positivo, finito od infinito), un omeomorfismo ϕ fra le v. topologiche X ed Y dicesi un diffeomorfismo - od un omeomorfismo, differenziabile - di classe C^s (1 ≤ s ≤ r) se le coordinate locali su X e su Y di due qualsiansi punti corrispondentisi mediante ϕ sono funzioni differenziabili (invertibili) le une delle altre. Nel 1956 J. Milnor ha costruito il primo esempio di v. differenziabili X ed Y omeomorfe ma non diffeomorfe, provando che sulla sfera a sette dimensioni esistono sette strutture di v. differenziabili non equivalenti fra loro in nessun diffeomorfismo.

In modo analogo al precedente si definiscono le v. analitiche reali, o v. di classe C^w, e le v. complesse. Per le prime basta modificare le condizioni b) e c) sostituendo alle F delle funzioni analitiche reali. Per le varietà complesse basta considerare - sopra una v. topologica X di dimensione 2n - la famiglia &scr;F_C(X) delle funzioni a valori complessi su X, imponendole di essere locale, olomorficamente completa, e di contenere, per ogni punto x di X, n funzioni f₁, ..., f_n le quali determinino un omeomorfismo di un intorno U_x di x sopra un insieme aperto B dello spazio vettoriale complesso Cⁿ a n dimensioni, e siano tali inoltre che ogni funzione f di &scr;F_C(X) coincida su U_x con una funzione F(f₁, ..., f_n) olomorfa in B; n dicesi la dimensione complessa di X. Scindendo la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario nelle coordinate complesse sulla v. complessa X, si definisce su quest'ultima una struttura di v. analitica reale, orientabile, che chiameremo la v. supporto della v. complessa X.

Lo spazio euclideo e lo spazio proiettivo reali.,da un lato, lo spazio proiettivo complesso e le v. algebriche non singolari sul campo dei numeri complessi dall'altro, offrono esempî di v.. rispettivamente, analitiche reali e complesse.

H. Whitney ha dimostrato che ogni v. differenziabile di classe Cr (con r finito od infinito, oppure C^w). di dimensione n, ammette un modello omeomorfo della stessa classe (l'omeomorfismo essendo rispettivamente di classe C^r o - secondo un risultato di H. Grauert - C^w) immerso in uno spazio euclideo reale la cui dimensione k può assumersi non superiore a 2n + 1. La determinazione della minima dimensione k per cui tale immersione è possibile. involge delicate questioni sul tipo d'omotopia di X e comporta l'uso del cosiddetto teorema di Riemann-Roch per le varietà differenziabili.

3. - Vettori tangenti. - Data una v. differenziabile (od analitica reale) X, un vettore i tangente ad X in un punto di X è una rappresentazione lineare di &scr;F(X) nel campo R dei numeri reali, tale che, se f e g sono due elementi qualsiansi di &scr;F(X), risulti

Dati, due vettori t₁ e t₂ tangenti a X in x, e due numeri reali a₁ e a₂, la rappresentazione lineare di &scr;F(X) in R espressa dalla

definisce un nuovo vettore, che denoteremo con a₁t₁ + a₂t₂, tangente a X in x. La legge di composizione ora introdotta induce nell'insieme T_x di tutti i vettori tangenti ad X in x una struttura di spazio vettoriale reale (cfr. la voce spazio in questa App.) di dimensione eguale alla dimensione n di X, il cui zero è la rappresentazione nulla di &scr;F(X) in R.

In modo analogo si definiscono i vettori tangenti a una v. complessa X, e lo spazio tangente a quest'ultima in un punto x. Tale spazio è uno spazio vettoriale complesso, di dimensione eguale alla dimensione complessa di X.

Assegnare un campo t (differenziabile) di vettori su una v. differenziabile X vuol dire assegnare in ogni punto x di X un vettore t_x tangente ad X in x, variabile in modo differenziabile al variare di x. Quest'ultima condizione può precisarsi come segue. Un campo di vettori su X è una rappresentazione lineare di &scr;F(X) nell'algebra (v. algebra) d tutte le funzioni reali su X, che associa ad ogni funzione f di &scr;F(X) la funzione t(f), la quale sia differenziabile ogniqualvolta f è differenziabile. In modo analogo si definiscono i campi di vettori analitici reali sopra una v. analitica reale, e i campi di vettori complessi, differenziabili, analitici reali, analitici complessi, sopra una varietà complessa.

L'insieme &scr;T???(X) dei campi di vettori sopra una v. differenziabile X possiede le seguenti strutture: a) &scr;T???(X) è uno spazio vettoriale reale (se t₁ e t₂ sono due campi di vettori su X, ed a₁ e a₂ due numeri reali, definiremo il campo a₁t₁ + a₂t₂ mediante la relazione

valida per ogni f di &scr;F(X); assumeremo inoltre come zero dello spazio vettoriale &scr;T??? (X) il campo dei vettori nulli in ogni punto di X); b) è un modulo sopra l'anello &scr;F(X) (per ogni coppia di elementi t di &scr;T??? (X) ed f di &scr;F (X), il campo di vettori ft è definito dalla relazione

valida per ogni g di &scr;F(X); c) alla struttura a) di spazio vettoriale reale, può essere sovrapposta una struttura di algebra di Lie su R, con l'introduzione di un prodotto bilineare a valori vettoriali, [t₁, t₂], operante sulle coppie di campi vettoriali t₁ e t₂, il quale sia alternato (cioè tale che

e soddisfi l'identità di Jacobi

per ogni terna di elementi t₁, t₂, t₃ di &scr;T???(X). Un operatore siffatto è espresso dalla parentesi di Poisson, la quale associa ad ogni coppia di campi di vettori t₁ e t₂ il campo di vettori [t₁, t₂] definito dalla formula

valida per ogni f di &scr;F (X).

Data una v. analitica complessa X, la moltiplicazione per l'unità immaginaria

definisce un automorfismo dello spazio tangente complesso T_x in un qualsiasi punto x di X, il quale è espresso localmente - rispetto ad una qualsiasi base fissata nello spazio vettoriale reale di dimensione 2n ottenuto scindendo in T_x il reale dall'immaginario (cioè nello spazio tangente in x alla varietà analitica reale supporto di X) - da una matrice quadrata non degenere di ordine 2n, la quale: a) dipende in modo analitico reale dal punto x; b) ha quadrato eguale alla matrice unità cambiata di segno; c) soddisfa a certe relazioni di integrabilità conseguenze delle condizioni di olomorfia. Bastano queste condizioni a caratterizzare le v. complesse? Diamo il nome di v. quasi complessa a una v. differenziabile di dimensione 2n e classe C^r, sulla quale esista un automorfismo J dello spazio tangente T_x in ogni punto di x di X, soddisfacente alle condizioni b) e c). Nell'ipotesi che k ≥ 2n + 1 e che le rappresentazioni locali di J siano di classe C²ⁿ, A. Newlander e L. Niremberg hanno provato nel 1957 che J è subordinato da una struttura complessa esistente su X. Risultati parziali, concernenti il caso in cui X sia supposta analitica reale, sono dovuti a B. Eckmann, A. Frölicher e P. Liebermann.

Ritornando ai campi di vettori sopra una v. differenziabile X, osserviamo che non sempre esistono, sopra una X qualsiasi, campi di vettori diversi da zero in ogni punto di X. Qualora X sia compatta, campi siffatti esistono se, e soltanto se, la caratteristica di Eulero-Poincaré di X è nulla. Dunque il non annullarsi della caratteristica di Eulero-Poincaré di X costituisce un ostacolo all'esistenza di campi di vettori non nulli in ogni punto di X. Questa situazione si generalizza quando si vogliano costruire campi di coppie, terne, ..., n-ple di vettori linearmente indipendenti in ogni punto di una varietà differenziabile, compatta, X di dimensione n. In tali casi, si definiscono in X delle classi di coomologia di dimensioni n-1, n-2, ..., 1, a coefficienti interi modulo 2, od alternativamente interi e interi modulo 2 qualora X sia orientabile - dette classi caratteristiche di Stiefel-Whitney - il cui annullarsi è condizione necessaria per l'esistenza dei campi suddetti. Secondo un risultato di R. Thom, tali classi non dipendono dalla struttura differenziabile, ma soltanto da quella topologica di X.

Condizione necessaria per l'esistenza di campi (differenziabili) di coppie, terne, ..., n-ple di vettori complessi tangenti e linearmente indipendenti in ogni punto di una v. complessa (o più in generale quasi complessa) compatta X, di dimensione complessa n, è l'annullarsi di certe classi di coomologia intera di dimensioni rispettive 2n-2, 2n-4, ..., 2, dette classi caratteristiche dî Chern.

Immergendo opportunamente gli spazî tangenti ad una v. differenzibile X, compatta ed orientabile, in spazî vettoriali complessi di egual dimensione, e definendo le classi di Chern per gli spazî complessi così introdotti, si ottengono altre classi caratteristiche a coefficienti interi. dipendenti dalla struttura differenziabile di X, dette le classi di Pontryagin di X.

4. - Teorema di De Rham. - Una forma differenziale esterna di grado p, o brevemente p-forma, ω, sulla varietà differenziabile X è una rappresentazione in &scr;F(X) del prodotto cartesiano &scr;T??? (X)... &scr;T???(X) di &scr;T??? (X) ripetuto p volte ossia della totalità delle p-ple ordinate di elementi di &scr;T??? (X), la quale soddisfi alle due condizioni seguenti: a) sia alternata; cioè, fissati p elementi t₁, ..., t_p di &scr;T??? (X), se s è una permutazione di 1, 2, ..., p che muti ordinatamente questi elementi in s(1), s(2), ..., s(p), allora

oppure:

secondoché s è una permutazione pari o dispari; b) ω sia p-lineare, nel senso che, ove si tengano fissi p-i dei p campi di vettori t₁, ..., t_p, la rappresentazione risultante di &scr;T???(X) in &scr;F(X) sia lineare.

Nell'insieme A_p delle p-forme su X si introduce una struttura di spazio vettoriale reale, assumendo come zero la p-forma nulla in ogni punto di X, ed associando ad ogni coppia ω₁ e ω₂ di p-forme su X e ad ogni coppia di costanti reali a₁ e a₂ la p-forma

valida per ogni p-pla di elementi t₁, ..., t_p di &scr;T???(X). A₀ si identifica canonicamente con &scr;F(X), e A_p consta del solo zero non appena p > n.

Otteniamo nella somma diretta A = A₀ + A₁ + ... + A_n + ... una struttura di algebra esterna graduata (cfr. algebra in questa App.), definendo un prodotto bilineare che a ogni coppia di forme ω₁ di A_p e ω₂ di A_q associa la (p + q)-forma ω₁ ⋀ ω₂ il cui valore su una qualsiasi (p + q) − pla t₁, ..., t_p, t_p+1, ..., t_p+q di elementi di &scr;T???(X) venga espresso dalla formula:

Dalla precedente condizione a) si trae che

È possibile introdurre in A un operatore d di differenziazione esterna, caratterizzato dagli assiomi seguenti: I) su A₀ = &scr;F(X), d è la differenziazione ordinaria; II) d è una rappresentazione lineare di A_p in A_p+1; III) se ω₁ e ω₂ sono due elementi qualsiansi di A_p ed A_q, risulta

IV) dd = 0, ossia d, applicato due volte a una stessa forma, la annulla identicamente. L'insieme Z_p delle p-forme a differenziale esterno p nullo è un sottospazio vettoriale di A_p. In virtù di IV), Z_p contiene come sottospazio vettoriale l'immagine dA_p-1 di A_p-1. Il teorema fondamentale di De Rham afferma che lo spazio quoziente Z_p/dA_p-1 è canonicamente isomorfo allo spazio vettoriale reale H^p(X, R) costituito dalle classi di coomologia di dimensione p, a coefficienti reali.

5. - Varietà kähleriane. - Sopra ogni v. differenziabile X, di classe C^r o C^∞ o C^w e dimensione n è possibile definire - in più modi- una metrica riemanniana nel senso seguente: essendo {U_i} un ricoprimento di X mediante intorni U_i, U_j, ..., riferiti alle coordinate locali (xi¹, xi²,..., xiⁿ), (xj¹, xj², ..., xjⁿ), ..., esistono in U_i, U_j,... delle forme quadratiche definite positive

aventi coefficienti di classe C^r-1, se X è di classe C^r, oppure di classe C^∞ se X è di classe C^∞ o C^w, tali che - se U_i ed U_j hanno una parte comune non vuota - in essa risulti

Si dice allora che dette forme definiscono in X una metrica riemanniana globale, della quale esse dànno le rappresentazioni locali. Questa metrica può essere assunta come base della geometria riemanniana su X, e permette così di costruire su X la teoria degli integrali armonici.

Le considerazioni precedenti possono ripetersi sopra una v. analitica reale X???, di dimensione 2m, supporto di una v. complessa X, di dimensione complessa m. È sempre possibile scegliere la metrica riemanniana su X??? in guisa che, passando dalle coordinate locali reali su X??? alle coordinate locali complesse z¹, ..., z^,m, su X, e denotando con ž il complesso coniugato di z, la rappresentazione locale della metrica divenga della forma

ove le gα-_β sono funzioni locali di classe C^∞ tali che g_αβ =

Una metrica siffatta dicesi una metrica hermitiana (definita positiva).

Denotando con x^α ed y^α la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di z^α, introduciamo i due operatori di derivazione:

Offrono speciale interesse le metriche hermitiane per le quali risulti:

Metriche hermitiane di questo tipo furono studiate per la prima volta nel 1933 da E. Kähler e, quasi simultaneamente, da J. A. Schouten, e diconsi metriche käleriane.

Esempî cospicui di v. complesse compatte dotate di metriche kähleriane - brevemente, v. kähleriane compatte - vengono offerti dalle v. proiettive complesse, ossia dalle v. algebriche non singolari sul campo dei numeri complessi, immerse in uno spazio proiettivo complesso (cfr. geometria: Geometria algebrica. in questa App.). Esistono d'altronde esempî di v. kähleriane compatte non proiettive. A. Weil ha osservato nel 1947 come tutta la teoria degli integrali armonici, sviluppata da W. V. D. Hodge sulle v. proiettive complesse. consegua dalla sola esistenza, su tali v. complesse compatte, di una metrica kähleriana, sicché tale teoria può trasportarsi in blocco su una qualsiasi v. kähleriana compatta. D'altra parte, raffrontando le v. proiettive complesse con esempî di v. kähleriane compatte non proiettive, si scopre che la metrica kähleriana indotta sulle prime dallo spazio proiettivo ambiente, è una metrica di tipo ristretto, in quanto soddisfa a certe condizioni integrali. K. Kodaira ha dimostrato nel 1954 che questa condizione aggiuntiva basta a caratterizzare le v. proiettive complesse, provando cioè che, se una v. complessa compatta ammette una metrica kähleriana di tipo ristretto, essa può essere identificata, dal punto di vista della struttura complessa, a una v. proiettiva complessa. Se, da un lato, questo risultato di Kodaira fornisce una limpida caratterizzazione delle v. proiettive complesse, d'altro canto, il problema della caratterizzazione delle v. dotate di struttura complessa compatibile con una struttura di v. algebrica astratta nel senso di Weil non è ancora risolto. In proposito, M. Nagata e H. Hironaka hanno costruito esempî di v. complesse compatte, di dimensione complessa 3, dotate di strutture addizionali di v. algebriche astratte (nel senso di Weil), le quali non possono essere immerse senza singolarità in alcuno spazio proiettivo complesso.

Bibl.: R. L. Wilder, Topology of manifolds, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. XXXII, 1949; N. Steenrod, Topology of fibre bundles, Princeton 1951; B. Segre, Forme differenziali e loro integrali, I e II, Roma 1952 e 1956; G. De Rham, Variétés différentiables, Parigi 1955; H. Whitney, Geometric integration theory, Princeton 1956; A. Weil, Variétés kählériennes, Parigi 1958.