SKOLEM, Thoralf
SKOLEM, Thoralf
Logico matematico norvegese, nato a Sandsvaer, nella provincia di Buskerud, il 23 maggio 1887, morto a Oslo il 23 marzo 1963. Le modeste condizioni dei genitori (il padre Even insegnante elementare e la madre Helene Olette Vaal entrambi di origini contadine), non gli impedirono di ottenere nel 1905 l'examen artium e d'iscriversi successivamente alla facoltà di scienze dell'università di Oslo, ove si laureò brillantemente nel 1913. Fu inizialmente assistente privato del fisico K.O. Birkeland (1909), con il quale si trasferì in Sudan (1913-14) dedicandosi a osservazioni sulla luce zodiacale; in seguito, dopo un periodo di studio a Gottinga (1915-16), tornò a Oslo per diventare Dozent di matematica (1918-30) e ottenere, quasi quarantenne, il dottorato (1926). Ricercatore in matematica all'Istituto Christian Michelsen di Bergen (1930-38), fu professore di Algebra e teoria dei numeri all'università di Oslo dal 1938 al 1957. Presidente della Norsk Matematisk Forening e membro della Vitenskaps Akademiet di Oslo (dal 1918), per i suoi meriti fu nominato Cavaliere dell'Ordine reale di St. Olaf (1954) e insignito della Gunnerus Medal dal Kongelige Norske Vitenskabers Selskab (1962).
S. è ricordato soprattutto come autore di un fondamentale teorema della teoria cardinale degli universi, uno dei più importanti di tutta la logica, noto come teorema di Löwenheim-S. (1920). Essenziali i suoi contributi in algebra per la caratterizzazione degli automorfismi di algebre semplici (1923), e in teoria dei numeri, dove ha sviluppato il metodo, cosiddetto p-adico, per trattare classi di equazioni diofantee e dare in molti casi metodi costruttivi per le soluzioni (1935). Grande pioniere della matematica e studioso dei principi è considerato uno dei fondatori della teoria dei modelli e uno dei più profondi artefici della teoria assiomatica degli insiemi per aver dimostrato, tra l'altro, che nessun insieme finito di assiomi può definire i numeri naturali in modo da caratterizzarli completamente.
Notevoli e sostanziali sono stati i risultati ottenuti da S. nei fondamenti della matematica e nella logica. Estendendo un risultato di L. Löwenheim (1915), ha dimostrato che se un insieme finito o numerabile di enunciati del linguaggio predicativo del primo ordine è soddisfacibile in un qualche dominio (ovvero ha un modello), allora esso è soddisfacibile entro un dominio numerabile, cioè ha un modello numerabile (teorema citato di Löwenheim-S.). Ne consegue che ogni teoria assiomatica con un modello infinito ha anche un modello numerabile, con una relativizzazione della nozione d'insieme. In particolare, poiché la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel si basa su un sistema di assiomi con cardinalità finita ed è soddisfacibile in un dominio, allora è soddisfacibile in un dominio numerabile; ma ciò contrasta con l'esistenza di insiemi con potenze transfinite di vario ordine (paradosso di S.). Convinto assertore della costruzione finitista della matematica, nel 1923, in quello che può essere considerato il primo lavoro sull'aritmetica ricorsiva, egli più si avvicinò al compimento del programma hilbertiano, finitista e costruttivo, con la sua fondazione dell'aritmetica elementare attraverso l'impiego del procedimento ricorsivo e senza l'uso di variabili logiche apparenti (vincolate dai quantificatori). Fondamentale, nell'opera di S., è stato l'uso di funzioni, che da lui hanno preso nome, per eliminare l'alternarsi dei quantificatori universale ed esistenziale e applicate per ridurre una formula del linguaggio predicativo con quantificatori a una formula equivalente, in cui i quantificatori si trovino all'inizio (forma normale prenessa) e tutti i quantificatori esistenziali, se ve ne sono, precedano quelli universali (forma normale di S. di prima specie); se invece tutti i quantificatori universali precedono quelli esistenziali, si parla di forma normale di S. di seconda specie. S. ha provato che per ogni formula del calcolo predicativo del primo ordine esiste una formula normale deduttivamente equivalente. In una seconda dimostrazione del teorema Löwenheim-S. (1929), viene data un'elegante formulazione dell'assioma della scelta. Non ritenendo che la logica fosse una scienza assiomatica, S. pensava che la nozione di non contraddittorietà era da giustificarsi semanticamente, dimostrando la soddisfacibilità in un dominio non vuoto di individui; pertanto nella sua costruzione non esiste una formula che sia dimostrabile insieme alla sua negazione. Dopo aver provato la relativizzazione delle nozioni e dei teoremi della teoria degli insiemi ed espresso dubbi sulla completa assiomatizzazione dei concetti matematici, S. ha dimostrato (1934) che non esiste un sistema finito o infinito numerabile di enunciati del linguaggio predicativo del primo ordine nell'aritmetica di Peano che permetta di caratterizzare i numeri naturali.
Sono da ricordare tra le sue opere principali: Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre (1923); Einige Sätze über gewisse reihenentwicklungen und exponentiale Beziehungen mit Anwendung auf diophantische Gleichungen (1933); Ein Satz über Zählausdrücke (1935); Diophantische Gleichungen (1938; 2ª ed. 1950); Über Nebenkörper und Nebenringe (1944); Sobre la naturaleza del razonamiento matemático. Consideraciones sobre los fondamentos de la matemática (1952); Mathematical interpretation of formal systems (1955; 19712); Une relativisation des notions mathématiques fondamentales (1958); Abstract set theory (1962); Selected works in logic (1970).