TETRAEDRO

TETRAEDRO

. Poliedro con 4 facce triangolari, 4 vertici, 6 spigoli, 6 diedri. Si può anche definire come piramide a base triangolare, e, in questo senso, ciascuna delle sue quattro facce si può assumere come base.

Volume. - Il volume di un tetraedro è dato dalla terza parte del prodotto dell'area di una sua qualsiasi faccia per la corrispondente altezza (distanza del vertice opposto dal piano della faccia considerata).

La determinazione del volume del tetraedro richiede neeessariamente un procedimento di divisione infinito. Tale necessità non dipende da deficienze di metodi, bensì è intrinseca al problema; infatti un teorema di M. Dehn (1902), perfezionato da O. Nicoletti, impone, per l'equidecomponibilità di due poliedri in un numero finito di parti poliedriche congruenti, l'esistenza di almeno una relazione lineare omogenea a coefficienti interi tra le misure dei loro diedri e quella del diedro piatto, mentre tra le misure dei diedri di due tetraedri di ugual volume non si verifica in generale una tale relazione (v. poliedro).

Il procedimento infinito che vale a determinare il volume del tetraedro assume diverse forme. Il metodo di Euclide (libro XII, prop. 4^a) dà il detto volume v come somma di una serie geometrica (v. serie); se f è la misura di una faccia del tetraedro ed h la corrispondente altezza si ha

Secondo Archimede la formula v = fh/3 fu enunciata da Democrito d'Abdera e dimostrata con procedimento di esaustione da Eudosso di Cnido (v. integrale, calcolo, p. 365). Il procedimento di Eudosso esposto nelle moderne trattazioni elementari con la considerazione degli scaloidi, equivale all'integrazione

È notevole la formula di J. Steiner (1842)

dove a e a′ sono le lunghezze di due spigoli opposti del tetraedro, δ la loro minima distanza, ϑ l'angolo delle loro direzioni. Essa si ricava facilmente integrando l'area del parallelogrammo sezione del tetraedro con un piano variabile parallelo ai due spigoli opposti a e a′.

Sono ancora da notare: la formula di Tartaglia-Eulero

dove a, b, c sono le lunghezze di tre spigoli per un vertice e a′, b′, c′. indicano rispettivamente le lunghezze degli spigoli opposti del tetraedro; la formula di Staudt

dove a, b, c sono le lunghezze dei tre spigoli uscenti da un vertice, oc l'angolo dei due spigoli b e c e u′l'angolo dello spigolo a con la faccia bc; e la formula di Lagrange (1773)

dove x_i, y_i, z_i (i = 1, 2, 3, 4) sono le coordinate cartesiane ortogonali dei quattro vertici.

Punti notevoli del tetraedro. - Il centro della sfera iscritta è il punto comune ai piani bisettori dei diedri; il centro della sfera circoscritta è il punto comune ai piani normali agli spigoli condotti per i loro punti medî; il baricentro è il punto d'incontro delle congiungenti i vertici coi baricentri delle facce opposte (e divide tali congiungenti nel rapporto 3 a 1; v. gravità: Centro di gravità).

Il raggio R della sfera circoscritta al tetraedro è dato da

dove T è l'area del triangolo che ha per lati i prodotti aa′, bb′, cc′ (Staudt); e il raggio r della sfera iscritta ha l'espressione

dove S indica la superficie del tetraedro.

Tetraedro ortocentrico. - Le quattro altezze di un tetraedro in generale non concorrono in un punto; se questa circostanza si verifica, il tetraedro si dice ortocentrico o normale. Nel tetraedro ortocentrico le tre coppie di spigoli opposti sono ortogonali e, inversamente, se due coppie di spigoli opposti sono ortogonali, lo stesso avverrà della terza coppia e il tetraedro è ortocentrico.

Al tetraedro ortocentrico competono le seguenti proprietà: 1. I punti medî degli spigoli e i piedi delle minime distanze delle tre coppie di spigoli opposti sono dodici punti di una sfera avente il suo centro nel baricentro del tetraedro (1^a sfera dei dodici punti). 2. I baricentri delle facce, gli ortocentri delle facce e i punti che dividono nel rapporto 2 : 1 i segmenti delle altezze del tetraedro compresi tra i vertici e il punto d'incontro H delle altezze sono dodici punti di una sfera il cui centro O′ divide nel rapporto1 : 2 il segmento HO (2 HO′ = O′O) che ha un estremo in H e l'altro estremo nel centro O della sfera circoscritta al tetraedro (2^a sfera dei dodiei punti).

Tetraedro regolare. - È il tetraedro che ha come facce quattro triangoli equilateri uguali; la sua costruzione è nel libro XIII di Euclide, ma esso, insieme eon gli altri quattro poliedri convessi regolari, era già noto ai pitagorici. Detto l lo spigolo del tetraedro regolare, si ha

Notevole il seguente teorema: un tetraedro, le cui quattro facce siano equivalenti (cioè abbiano uguale area), è necessariamente regolare.

Proprietà di massimo. - Fra tutti i tetraedri, di cui siano prefissate le aree delle singole facce, ha massimo volume il tetraedro ortocentrico (Lagrange) e fra tutti i tetraedri di ugual superficie ha massimo volume quello regolare. Si ha pure che fra tutti i tetraedri con uguale somma degli spigoli ha massimo volume il tetraedro regolare.

Gruppo tetraedrale. - Le rotazioni dello spazio, che riportano il tetraedro regolare in sé, formano il gruppo tetraedrale, costituito dall'identità, da tre rotazioni di ampiezza π (ribaltamenti) attorno alle congiungenti i punti medî degli spigoli opposti, e da otto rotazioni di ampiezza 2 π/3 attorno alle altezze. Il gruppo si può ampliare con la simmetria rispetto a uno dei piani bisettori dei suoi diedri.

Bibl.: G. Sansone, Sulle espressioni del volume del tetraedro e su qualche problema di massimo, in Period. mat. (4), III (1923), pp. 20-50; U. Amaldi, Sulla teoria dell'equivalenza, in F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, III, 3^a ed., 1925, pp. 1-59; E. Rouché e Ch. de Comberousse, Traité de géométrie, II, 7^a ed., Parigi 1900, Note IV (Sur la géométrie récente du Tétraèdre, pp. 643-66); R. Sturm, Maxima und Minima in der elementaren Geometrie, Berlino 1910, pp. 111-125; P. Couderc e A. Ballincioni, Le premier livre du tétraèdre, Parigi 1935; per il gruppo tetraedrale: L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni, ecc., Pisa 1900, pp. 108, 122; F. Enriques e O. Chisini, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, I, Bologna 1915, p. 211.

Vedi anche cristalli.