teoria delle catastrofi
teoria delle catastrofi
Settore della matematica che studia come la natura qualitativa delle soluzioni di (un sistema di) equazioni differenziali dipenda dai parametri che appaiono nelle equazioni stesse. In particolare, la teoria delle catastrofi è spesso considerata una ramificazione della teoria dei sistemi dinamici e il termine catastrofe vuole qui significare un brusco cambiamento della struttura dell’evoluzione di un sistema (ossia della sua traiettoria) come risposta a un piccolo cambiamento del valore dei parametri (cioè delle condizioni esterne). La teoria delle catastrofi fornisce un quadro unificato che include la teoria delle biforcazioni, la termodinamica fuori dall’equilibrio, la teoria delle singolarità e la dinamica topologica. Gli ingredienti chiave per lo sviluppo della teoria sono in effetti stati la teoria delle singolarità delle mappe lisce di una varietà opportunamente regolare in sé, sviluppata dal matematico Hassler Whitney nel caso del piano, e la teoria di Poincaré e Andronov sulle biforcazioni di sistemi dinamici. La teoria delle singolarità è a sua volta un’ampia generalizzazione dello studio dei punti di massimo e minimo delle funzioni. Nella teoria di Whitney le funzioni sono sostituite da mappe, ossia da collezioni di più funzioni di molte variabili. In un sistema dinamico dipendente da non più di quattro parametri nel quale sia possibile definire una funzione che la dinamica del sistema tende a massimizzare o minimizzare (per es., le funzioni energia, entropia o un qualunque potenziale termodinamico), sono possibili solamente sette diversi tipi di catastrofe: (a) catastrofe a piega; (b) catastrofe a cuspide; (c) catastrofe swallowtail; (d) catastrofe a farfalla; (e) catastrofe umbilicale iperbolica; (f) catastrofe umbilicale ellittica; (g) catastrofe umbilicale parabolica. I risultati della teoria delle catastrofi sono di norma formulati per ‘quasi tutti’ i sistemi di una determinata classe, ovvero l’insieme dei sistemi (di una determinata classe) per i quali essi non valgono sono in numero trascurabile in un senso preciso.