caos, teoria del

caos, teoria del

del  Teoria che studia il comportamento dinamico di sistemi deterministici caotici. Questi sono modelli la cui evoluzione deterministica, e dunque perfettamente prevedibile date le condizioni iniziali, è però molto sensibile a variazioni, anche minime, di tali condizioni. Una esemplificazione di questa proprietà proviene dal meteorologo E. Lorenz (Three approaches to atmospheric predictability, «Bulletin of the American Meteorological Society», 50, 5, 1969), che riassume così un sistema di c. deterministico: «un battito d’ali di una farfalla in Brasile provoca dopo qualche tempo un uragano (che non si verificherebbe in assenza del battito d’ali) in Texas. Una trascurabile variazione in Brasile provoca (dopo qualche tempo) un rilevante cambiamento in Texas». Storicamente, il primo a rendersi conto che alcuni sistemi deterministici potevano presentare caratteristiche caotiche fu J.-H. Poincaré nei primi anni del 1900. La teoria del c. fu poi approfondita nella seconda metà del 20° sec. (M.J. Feigenbaum, The fixed point of classical dynamical evolution and chaos, in Asymptototic realms of physics: essays in honor of Francis E. Low, 1983), tanto da diventare un importante paradigma scientifico, pervasivo e trasversale a molti settori scientifici. Tra le altre importanti conseguenze di tale teoria, vi è la consapevolezza della difficoltà di distinguere fra sistemi a evoluzione intrinsecamente aleatoria e sistemi deterministici caotici, nei quali l’imprevedibilità non è intrinseca ma discende dalla incapacità di misurare con la precisione necessaria le condizioni iniziali.

Alcune applicazioni: la mappa logistica

L’evoluzione del sistema nel tempo viene descritta da una mappa, ovvero, nel caso unidimensionale più semplice, da una relazione del tipo x_n+1=f (r, x_n), dove lo stato del sistema (della variabile x che lo descrive) al tempo n+1 è una data funzione non lineare del valore assunto dalla variabile stessa al tempo precedente, n, e da un parametro r. Nella mappa logistica adottata per lo studio di evoluzioni di popolazione, r può assumere un valore compreso fra 0 e 4 e f=rx_n(1−x_n). All’inizio, il sistema si trova nella condizione x₀, che si suppone compreso fra 0 e 1. Si va alla ricerca del comportamento limite (se esiste) del sistema (ovvero di x_n) al divergere di n. In generale tale comportamento limite può dipendere dalla condizione iniziale (da x₀). Dicesi punto fisso del sistema un valore x che soddisfa x=rx(1−x). Una volta raggiunto, il punto fisso non viene abbandonato. Vi sarebbero due punti fissi 0 e (r−1)/r, ma la condizione che il punto fisso non sia negativo esclude la seconda alternativa quando r sia minore di 1 (e per r=1 i due punti coincidono). Distinguiamo due tipi di punto fisso: stabile e instabile. Il punto è stabile (instabile) se può (non può) essere raggiunto partendo da un altro punto (purché non fisso). Un punto fisso stabile (instabile) dicesi attrattore (repellente). Per r fra 0 e 1, l’attrattore fisso è x=0; per r fra 1 e 3, l’attrattore fisso è (r−1)/r; per r >3, si verificano comportamenti particolari, detti biforcazioni. Una biforcazione è un cambiamento del numero e della natura degli attrattori, precisamente uno sdoppiamento di un attrattore in due che si alternano. Al crescere di r si verifica un numero di successive biforcazioni, le quali raddoppiano a ogni fase il numero degli attrattori che continuano ad alternarsi. Per un certo valore critico di r, il sistema esplode nel c., ovvero itera fra infiniti attrattori, e la scelta di uno di essi a un tempo fissato dipende molto sensibilmente dalla condizione iniziale. Questo comportamento caratterizza vari sistemi evolutivi non lineari.

Le leggi della mappa e, in particolare, le proprietà generali della mappa di biforcazione sono state studiate da Feigenbaum