NUMERI, Teoria dei
NUMERI, Teoria dei
(App. IV, II, p. 626)
Gli anni Ottanta hanno visto importanti progressi nella teoria dei numeri. In particolare le linee di tendenza, già emerse alla fine degli anni Settanta, verso l'introduzione di metodi di geometria algebrica nella teoria dei n. hanno trovato una conferma in quello che è da molti considerato il più importante risultato degli ultimi dieci anni in questo campo: la soluzione da parte di G. Faltings, nel 1983, della congettura di Mordell.
La congettura di Mordell. - Questa congettura ha le sue origini nello studio delle equazioni diofantee, cioè equazioni polinominali a coefficienti interi in un qualsiasi numero di variabili, delle quali si cercano soluzioni in numeri interi o razionali. Una delle più famose equazioni diofantee è l'equazione di Fermat
xn+yn=zn [1]
dove n è un intero positivo. Per n=2 l'equazione si riduce all'equazione pitagorica x2+y2=z2, che ha infinite soluzioni, cioè esistono infinite terne di numeri interi tutti non nulli (x, y, z), positivi o negativi, che soddisfano tale equazione. P. de Fermat affermò, intorno al 1636, di aver dimostrato che per n maggiore o uguale a 3, questa equazione non può avere alcuna soluzione (non banale) in interi. Quest'affermazione è nota sotto il nome di congettura di Fermat. Un importante passo avanti verso la soluzione di questo problema si è avuto nel 1983, quando Faltings ha dimostrato un teorema molto generale sulle equazioni diofantee dal quale si deduce, come corollario, che, per ogni n>3, l'equazione di Fermat può avere al più un numero finito di soluzioni intere. Già Eulero e Gauss avevano dimostrato la verità della congettura di Fermat nel caso n=3.
Faltings usa tecniche di geometria algebrica, il cui intervento nel problema di Fermat può essere qualitativamente motivato dalle seguenti considerazioni: supponendo che sia z≠0, dividendo ambo i membri della [1] per zn e ponendo u=x/z, v=y/z, l'equazione [1] si può riscrivere nella forma
un+vn−1=0 [2]
Interpretando la [2] come l'equazione di una curva C nel piano (u, v), la congettura di Fermat si può riformulare dicendo che: se n≥3 la curva C non può contenere alcun punto a coordinate razionali. Questa formulazione suggerisce di generalizzare la congettura di Fermat sostituendo all'espressione un+vn−1 un generico polinomio f(u, v), irriducibile e a coefficienti razionali, nelle variabili (u, v), e quindi all'equazione [2] l'equazione
f(u, v)=0 [3]
Da un punto di vista geometrico, ciò equivale a sostituire la curva C, definita dall'equazione [2], con una curva algebrica irriducibile e a coefficienti razionali.
Il concetto geometrico fondamentale in questa teoria è quello di genere di una curva algebrica. Il genere di una curva algebrica irriducibile di ordine (o grado) n può essere definito come la differenza fra (n-1)(n-2)/2, che è il massimo numero di punti doppi nel piano proiettivo che una tale curva può avere, e il numero di punti doppi, contati con la dovuta molteplicità, che essa effettivamente possiede. Per es., una cubica liscia ha genere (3-1)(3-2)/2-1, mentre una cubica con un punto doppio (nodo o cuspide) ha genere zero.
Nel caso di una curva C di genere 1, detta anche curva ellittica, L.J. Mordell aveva dimostrato nel 1922 che i punti razionali su C o sono in numero finito oppure, se infiniti, si ottengono tutti da un numero finito di essi con un procedimento costruttivo. Questo risultato di Mordell fu successivamente esteso da A. Weil al caso delle varietà abeliane, che sono la naturale generalizzazione delle curve ellittiche al caso di dimensione maggiore, cioè di equazione in più di due variabili. La congettura di Mordell consiste nell'ipotesi che, nel caso di curve di genere ≥2, esiste al più un numero finito di soluzioni razionali. Dopo un risultato di B.C. Mazur, che ha dimostrato la validità della congettura di Mordell per una classe particolare di curve (quelle associate a equazioni modulari), Faltings ha ottenuto il seguente risultato: una curva proiettiva C, definita su un campo K di numeri irriducibile e di genere maggiore di uno, ammette al più un numero finito di punti a coordinate in K.
Il risultato di Faltings risolve quindi (positivamente) la congettura di Mordell e si applica alla curva di Fermat, definita sul campo dei numeri razionali dall'equazione un+vn=1, la quale ha genere (n−1)(n−2)/2 (maggiore di uno per n maggiore di 3) ed è irriducibile. Un altro importante risultato, che collega la geometria alla congettura di Fermat, è un teorema di K. Ribet del 1987, precedentemente congetturato da G. Fray, secondo il quale la congettura di Fermat è vera per ogni n primo e diverso da 2, se è vera la congettura di Y. Taniyama e A. Weil, secondo la quale per ogni curva ellittica sui razionali esiste una forma modulare di peso 2 e livello n, con carattere banale. Uno dei limiti del teorema di Faltings è il suo carattere non costruttivo, nel senso che esso permette di asserire l'esistenza di un numero al più finito di soluzioni, ma non di ottenere una maggiorazione effettiva per l'altezza delle soluzioni razionali (u, v), cioè per il valore assoluto del numeratore e del denominatore di u e di v. Un campo attivo della ricerca in teoria dei n. è costituito dal tentativo di dedurre tali stime esplicite. Risultati in tale direzione sono stati ottenuti da E. Bombieri e da altri.
Il risultato di Faltings ha ispirato una molteplicità di ricerche basate sull'applicazione di metodi di geometria algebrica alla teoria dei numeri. In particolare C. Viola ha ottenuto una generalizzazione, basata su tecniche di analisi delle singolarità, di un lemma di F. J. Dyson, la cui importanza nella teoria di A. Thue-C. L. Siegel-K. F. Roth, dell'approssimazione di numeri algebrici mediante numeri razionali, era stata messa in luce nel 1982 da Bombieri. Il teorema di Viola, successivamente generalizzato da H. Esnault ed E. Viehweg, è stato utilizzato da vari autori; in particolare da P. Vojta (1989), il quale ha dato una nuova dimostrazione del risultato di Faltings che utilizza da una parte un'analogia tra la teoria di Nevanlinna (concernente l'esistenza di funzioni olomorfe non banali definite sui numeri complessi e a valori in una varietà complessa non singolare) e la teoria di Thue-Siegel-Roth; dall'altra alcune idee e tecniche, precedentemente sviluppate da S. J. Arakelov e basate sulla stima della funzione zeta del laplaciano su una varietà kähleriana compatta (cioè la funzione ζΔ(s)=Σn λn−s, dove i λn-s sono gli autovalori del laplaciano ∂∂*+∂*∂, definito dall'operatore di Dolbeault ∂ su un fascio di forme differenziali sulla varietà). La dimostrazione di Vojta della congettura di Mordell è stata semplificata da Bombieri, che ha mostrato come si può evitare in questo tipo di considerazioni la difficile teoria di Arakelov.
Nel giugno 1993 il matematico inglese A.J. Wiles ha annunciato la dimostrazione della validità della congettura di Taniyama e Weil in condizioni sufficientemente generali da permettere di applicare il citato teorema di Ribet, e dedurne, cosa notevole, la validità della congettura di Fermat. La dimostrazione di Wiles è molto complessa e la sua conferma richiederà accurati controlli. In ogni caso i recenti sviluppi confermano il carattere collettivo dei grandi successi della matematica e mostrano che la teoria dei n. mantiene il suo ruolo di crocevia della matematica, cioè da una parte punto d'incontro e di fusione di tecniche sviluppate a fini diversi in discipline diverse, dall'altra fucina di nuove tecniche, sviluppate per motivazioni puramente interne alla matematica, ma spesso emergenti in modo del tutto inatteso nei più disparati problemi.
Bibl.: K. Menninger, Number words and number symbols. A cultural history of numbers, Cambridge (Mass.) 1977; S. Lang, Number theory III, Berlino-New York 1991.