NUMERI, Teoria dei

NUMERI, Teoria dei

Gli sviluppi recenti della t. dei n. (v. aritmetica: Aritmetica inferiore o teoria dei numeri, IV, p. 370) hanno condotto alla soluzione di problemi fondamentali e alla costruzione di nuovi metodi nel campo dell'aritmetica. I progressi più notevoli sono stati ottenuti nella teoria delle congruenze, nella teoria delle equazioni diofantee, nell'introduzione di nuovi metodi in aritmetica analitica e nella t. dei n. primi.

Una caratteristica nuova e fondamentale delle moderne ricerche in t. dei n., è l'introduzione di tecniche di algebra e geometria algebrica in problemi di aritmetica. Non essendo possibile tracciare un quadro completo di tutti i progressi ottenuti, prenderemo in esame soltanto alcuni capitoli di questa vasta scienza.

Divisibilità e teoria delle congruenze. - L'origine della teoria delle congruenze è legata in modo indissolubile al problema delle equazioni diofantee, cioè quello di determinare le soluzioni intere di un'equazione P(x₁, x₂, ..., x_n) = 0, dove P indica un polinomio a coefficienti interi. Si osserva infatti che, se la precedente equazione è risolubile, allora per ogni intero N debbono esistere valori interi ù₁, ..., ù_n tali che P(ù₁, ù₂, ..., ù_n) sia divisibile per N, cioè P(ù₁, ù₂, ..., ù_n) ≡ 0 (mod N). Esempi semplicissimi mostrano che ciò non può avvenire sempre: per es., la congruenza x²₁ + x²₂ + x²₃ ≡ 7 (mod 8) è certo insolubile in interi, il che comporta che l'equazione diofantea x²₁ + x²₂ + x²₃ = 8m + 7 è insolubile per ogni m intero. Di particolare importanza è il caso in cui N = p sia un numero primo. Se esaminiamo una congruenza P(x₁, x₂, ..., x_n) = 0 (mod p) possiamo limitarci a considerare le incognite x_i solamente modulo p, e quindì come appartenenti a un corpo finito ???&out;F_p con p elementi. Anche i coelficienti del polinomio P possono essere considerati modulo p, quindi si ottiene un polinomio Ä(x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ???&out;F_p [x₁, x₂, ..., x_n] i cui coefficienti sono elementi di ???&out;F_p, e la congruenza richiesta equivale a determinare i punti x₁, ..., x_n con x_i ∈ ???&out;F_p tali che Ä(x₁, x₂, ..., x_n) = 0. Geometricamente è possibile interpretare la situazione nella maniera seguente: ???&out;Aⁿ è lo spazio affine n-dimensionale sul corpo ???&out;F_p, determinare i punti di ???&out;A_n che stanno sopra l'ipersuperficie Ä(x₁, x₂, ..., x_n) = 0. Un tipico e fondamentale risultato (A. Weil, 1944) è il seguente: se Ä(x, y) è un polinomio in due variabili con coefficienti in ???&out;F_p, di grado d e assolutamente irriducibile, il numero N_p di soluzioni dell'equazione Ä(x, y) = 0 con x, y ∈ ???&out;F_p verifica ∣ N_p − p ∣ ≤ c(d) √p, dove c(d) è una opportuna costante che dipende solo dal grado d. La dimostrazione di Weil dipende da tecniche raffinate di geometria algebrica, e solamente nel 1973 è stata ottenuta una dimostrazione di natura elementare, dopo le ricerche di S. A. Stepanov.

L'estensione del teorema di Weil al caso di polinomi in più di due variabili ha resistito per 30 anni, quando nel 1973 finalmente P. Deligne è riuscito a fare completa luce sul problema delle congruenze polinomiali modulo p. La soluzione del problema ha richiesto le tecniche più raffinate della topologia e geometria algebrica e della teoria dei gruppi di Lie.

Analisi p-adica. - Se p è un numero primo, n è intero e p^α è la massima potenza di p che divide n, allora ∣ n ∣_p = p^-α definisce il "valore assoluto p-adico" che indicheremo con il simbolo ∣ ∣_p. La nozione di "distanza p-adica" così introdotta conduce, con un procedimento simile a quello seguito per la costruzione del corpo dei numeri reali, alla nozione del "corpo p-adico Q_p" e a quella di lí anello degli interi p-adici, Z_p". Un'equazione diofantea risolubile in interi è necessariamente risolubile in interi p-adici, per ogni p. La teoria delle equazioni diofantee p-adiche ha fatto grandi progressi.

Per es., è stato dimostrato che un polinomio omogeneo di grado d, in almeno d² + 1 variabili, ammette soluzioni p-adiche non nulle per ogni p > p(d), dove p(d) è una opportuna funzione del grado d (Ax - Kochen, P. J. Cohen) e sono stati determinati metodi costruttivi per risolvere queste equazioni. È stata inoltre fatta una teoria delle funzioni olomorfe p-adiche (M. Krasner, B. Dwork) e delle funzioni modulari p-adiche (J. P. Serre, N. Katz).

Equazioni e approssimazioni diofantee. - La teoria delle equazioni diofantee in due variabili f(x, y) = 0 ha fatto recentemente progressi straordinari, in seguito ai lavori di A. Baker. Infatti sono state determinate le condizioni necessarie e sufficienti per avere solamente un numero finito di soluzioni (C. L. Siegel); in particolare ciò avviene se la curva piana f(x, y) = 0 ha genere positivo. Il metodo di Siegel purtroppo non ha carattere costruttivo e pertanto non permette di determinare esplicitamente le soluzioni. Solamente negli ultimi anni Baker è riuscito, con l'introduzione di misure di approssimazione dei logaritmi di numeri algebrici, a determinare algoritmi effettivi per trovare tutte le soluzioni intere di un'equazione f(x,y) = 0 di genere1, e per vaste classi di equazioni di genere>1, per es., le equazioni iperellittiche ay² = f(x) con f. polinomio. Uno dei risultati più spettacolari (R. Tijdeman, G. Tchudnovski) riguarda l'equazione di Catalan x^m − yⁿ = 1, m, n ≥ 2. Questa equazione ha le soluzioni ovvie x = 1, y = 0, per qualsiasi valore di m, n ≥ 2, e x = 3, y = 2, m = 2, n = 3, ed è stato dimostrato che essa ha al più un numero finito di soluzioni oltre a quelle note. La risoluzione completa di questa equazione è ricondotta infine a un calcolo numerico finito, seppure estremamente lungo.

Il problema delle soluzioni razionali di un'equazione in due variabili f(x, y) = 0 è stato anch'esso oggetto di profondi studi. Nel caso di genere 1 (per es., un'equazione ay² = bx³ + cx² + dx + e, con discriminante ≠ 0) è stato dimostrato da L. J. Mordell e A. Weil che le soluzioni si ottengono tutte a partire da un numero finito di esse mediante una semplicissima costruzione geometrica. Per il caso di genere ≥ 2, si congettura che l'equazione possa avere soltanto un numero finito di soluzioni razionali, il che rappresenterebbe una profonda generalizzazione del cosiddetto "ultimo teorema di Fermat". Ricerche recenti (B. Mazur) hanno risolto questo problema per un'importante classe di equazioni, le equazioni modulari.

Per le equazioni in più variabili, le ricerche si sono rivolte verso classi speciali, per es., equazioni del tipo di E. Waring xk₁ + ... + xk_s = N. Metodi analitici, quali l'uso delle serie trigonometriche, hanno condotto a importanti risultati, quali il teorema di I. M. Vinogradov: se k ≥ 170.000, N > N(k) l'equazione precedente è risolubile con un s ≤ k(2 ln k + 4 ln ln k + 2 ln ln ln k + 13). Il problema posto da D. Hilbert di determinare un algoritmo per decidere se un'equazione diofantea è risolubile oppure no, è stato risolto (M. Davis, H. Putnam e J. Robinson; Y. Matijasievic, 1970) in senso negativo; non esiste un algoritmo, valido per tutte le equazioni diofantee, per decidere se l'equazione considerata sia risolubile. Una conseguenza di queste ricerche è la costruzione di un polinomio P in 23 variabili i cui valori positivi sono tutti e soli i numeri primi: in altre parole, se n > 0, l'equazione diofantea P(x₁, ..., x₂₃) = n è risolubile se e solo se n è un numero primo. I metodi di logica matematica impiegati nello studio del problema di Hilbert permettono anche di trasformare l'enunciato di problemi (per es., il problema dei 4 colori, cioè di colorare qualunque carta geografica con 4 colori in modo che due nazioni confinanti abbiano sempre colori diversi) in problemi di solubilità di equazioni diofantee.

Uno degli strumenti essenziali nello studio delle equazioni diofantee consiste nell'approssimazione diofantea. Per es., se vogliamo risolvere in interi l'equazione di Pell x² − 2y² = 1, avremo (x/y)² − 2 = 1/y² e pertanto x/y è un'approssimazione razionale al numero algebrico √2. Il problema dell'approssimazione di numeri algebrici irrazionali mediante numeri razionali è pertanto di vitale importanza. Uno dei risultati più famosi in proposito è il teorema di Roth: se α è algebrico, per ogni ε > 0 la disequazione ∣qα − p ∣ 〈 q^-1-ε ha un numero finito di soluzioni (p, q) in interi.

Questo risultato fondamentale è stato generalizzato da W. Schmidt (1970) al caso di approssimazioni simultanee: se α₁, ..., α_n sono algebrici e linearmente indipendenti sui razionali, per ogni ε > 0 il sistema

ha un numero finito di soluzioni (p₁, ..., p_n; q).

I teoremi di Roth e Schmidt, che rappresentano la conclusione di una linea di ricerca iniziata da A. Thue e da C. L. Siegel, non permettono tuttavia la determinazione di un confine superiore esplicito per le soluzioni approssimate (p₁, ..., p_n; q).

Un'altra linea di ricerca è stata aperta dalla soluzione, di A. O. Gelfond e T. Schneider, del problema di Hilbert di provare che 2^√2 è un numero trascendente. Ora, se ξ = 2^√2 fosse algebrico, si avrebbe √2 ln 2 − ln ξ = 0, cioè ln 2 e ln ξ sarebbero linearmente dipendenti sul corpo Ö dei numeri algebrici; che ciò non possa avvenire, è provato dal teorema di Gelfond e Schneider che se α, β sono algebrici, α ≠ 0,1 e β è irrazionale, allora α^β è trascendente. Finalmente nel 1966 Baker dimostra che: se α₁, ..., β_n sono algebrici e se ln α₁, ..., ln α_n sono linearmente indipendenti sul corpo Q dei numeri razionali, allora essi sono linearmente indipendenti sul corpo Ö dei numeri algebrici. I risultati di Baker inoltre dànno una misura esplicita d'indipendenza lineare, e proprio questo è alla base delle importanti applicazioni fatte allo studio di equazioni diofantee.

Aritmetica analitica e teoria dei numeri primi. - L'aritmetica analitica è quella branca della t. dei n. che si occupa della distribuzione asintotica di particolari successioni di significato aritmetico. Una succesàone di fondamentale importanza è la successione 2, 3, 5, 7, 11, ... dei numeri primi p, e ha particolare interesse lo studio della funzione π(x; q, a) che rappresenta il numero dei primi p ≤ x che appartengono alla progressione aritmetica qm + a, dove (a, q) = 1. Per q fissato e x grande, si ha il teorema di De La Vallée-Poussin che afferma π(x; q, a) ≈ [1/ϕ(q)] Li (x), dove Li (x) = ∉x₀ dt/ln t è la funzione logaritmo integrale di x, e dove ϕ(d), la funzione di Eulero, è il numero di progressioni mod q con (a, q) = 1. Il problema di stimare il resto E(x; q, a) = π(x; q, a) − 1/ϕ(q) Li (x) è di fondamentale importanza. La stima E(x; q, a) ≪ x=⃓ ln x uniformemente in q sarebbe una conseguenza dell'ipotesi di Riemann generalizzata, cioè che le funzioni di Dirichlet

hanno zeri nella i striscia critica 0 ≤ Re (s) ≤ 1 solamente quando Re (s) = 1/2. L'ipotesi di Riemann generalizzata non è stata dimostrata né confutata in alcun caso particolare, e rappresenta al giorno d'oggi uno dei grandi problemi insoluti della t. dei numeri.

Per quanto riguarda stime per E(x; q, a) le migliori stime note uniformemente in q restano quelle ottenute da C. L. Siegel e A. Walfisz, cioè E(x; q, a) = π(x; q, a) − 1/ϕ(q) Li (x) ≪ _Nx/(ln x)^N uniformemente per q ≤ (ln x)^N; e ogni N > 0. Una caratteristica di questo teorema è la sua natura non costruttiva: la disuguaglianza ≪_N significa una disuguaglianza a meno di un fattore moltiplicativo c(N) che dipende solo da N. Adesso Siegel e Walfisz dimostrano solo che la costante c(N) esiste, ma non è noto alcun procedimento che permetta di valutare c(N). Le stime per E(x; q, a) si possono migliorare notevolmente se esse non sono richieste per tutti i valori di q e di a. Un risultato (E. Bombieri, A.I. Vinogradov, 1965) che può essere utilmente usato al posto dell'ipotesi di Riemann generalizzata è la stima: per A ≥ 5 si ha

di nuovo, come per il teorema di Siegel e Walfisz, la costante implicita nel simbolo ≪_A non può essere calcolata. Stime in media come quella sopracitata sono state ottenute per molte classi di funzioni aritmetiche, con interessanti applicazioni. Tra queste ricordiamo: la soluzione del problema di G. H. Hardy e J. E. Littlewood, di rappresentare un intero come somma di un primo e di due quadrati, cioè l'equazione n = p + x² + y², x, y interi. Tale soluzione è stata ottenuta da Y. V. Linnik e successivamente semplificata con le ricerche di C. Hooley e il teorema precedente sul comportamento di E(x; q, a).

Un problema che tuttora sembra resistere ai reiterati tentativi fatti per la sua soluzione è il problema di C. Goldbach, cioè risolvere l'equazione 2n = p′ + p″, con p′p″ numeri primi. Si congettura addirittura che il numero di soluzioni dell'equazione di Goldbach sia

è la costante di Shah e Wilson. Il risultato più forte ottenuto nella direzione della congettura di Goldbach è quello ottenuto da J. R. Chen (1973): ogni intero pari sufficientemente grande è somma di un primo e di un numero che ha al più due fattori primi. La dimostrazione di questo risultato di Chen richiede gli strumenti più raffinati dell'aritmetica analitica.

L'uso di tecniche elementari in aritmetica analitica, dopo le ricerche iniziali di Viggo Brun, si è esteso in quello che è chiamato il "metodo di crivello". Le applicazioni e varianti di questo metodo sono innumerevoli; ricorderemo solamente che le idee alla base del metodo di crivello hanno motivato la famosa dimostrazione di Selberg, ottenuta esclusivamente con l'ausilio di procedimenti elementari, del teorema fondamentale sui numeri primi, cioè

Bibl.: E. Bombieri, Le grand crible dans la théorie analytique des nombres, in Astérisque, 18, Société Math. de France (1974); Mathematical developments arising from Hilbert problems, in Proc. Symp. Pure Math. XXVIII (1976).