Introduzione. - La teoria delle c. è di recente costruzione, ma, per la sua stessa natura, è oggi già penetrata diffusamente nella matematica. Essa rappresenta, nel pensiero matematico, un momento di sintesi, [...] nell'assumere la teoria degl'insiemi con gli assiomidiZermelo-Fraenkel, e postulare inoltre l'esistenza di un universo U definito come un insieme (di insiemi) soggetto a certe condizioni di chiusura rispetto alle usuali operazioni della teoria degl ...
Leggi Tutto
Logica matematica
Abraham Robinson
*La voce enciclopedica Logica matematica è stata ripubblicata da Treccani Libri, arricchita e aggiornata da un’introduzione di Gabriele Lolli e un saggio di Beppo [...] . Infine, nel 1963, P. J. Cohen, usando i metodi di Gödel assieme ad alcune idee radicalmente nuove, dimostrò che è impossibile dedurre l'ipotesi del continuo dagli assiomidiZermelo-Fraenkel. Ciò lasciò a chiunque creda nella realtà (platonica) del ...
Leggi Tutto
matematica
matematica termine che deriva dal greco mathematiché (sottinteso téchne, dove máthema significa conoscenza, sapere) e dal corrispondente sostantivo neutro plurale latino mathematica (le cose [...] compone è inoltre caratterizzata da un coerente sistema diassiomi che ne definiscono implicitamente gli oggetti, le sistemati assiomaticamente (si vedano per esempio gli assiomidi → Zermelo-Fraenkel) e considerando strutture algebriche, d’ordine ...
Leggi Tutto
Hilbert, problemi di
Hilbert, problemi di lista di problemi (23 in tutto), all’epoca irrisolti, esposti in parte da D. Hilbert nel 1900, in occasione del secondo Congresso internazionale dei matematici [...] della teoria degli insiemi. Nel 1963, tuttavia, P. Cohen dimostrò l’indipendenza di questo asserto nel sistema diassiomidi → Zermelo-Fraenkel. Il problema non è quindi decidibile, nel senso che è possibile costruire sia matematiche in cui l’ipotesi ...
Leggi Tutto
coerenza
coerenza in logica, termine (sinonimo di non contraddittorietà e di consistenza), che indica la proprietà di un sistema assiomatico in cui non è possibile derivare contraddizioni: un sistema [...] , come per esempio in quella formalizzata dagli assiomidiZermelo-Fraenkel.
La coerenza di un sistema diassiomi è correlata all’esistenza di un modello, ovvero un insieme di oggetti che soddisfino gli assiomi della teoria; una teoria è coerente se ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La teoria degli insiemi
Gabriele Lolli
La teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi è universalmente considerata, nella sua concezione e impostazione [...] fondazione della teoria delle categorie.
Dopo il 1930, la teoria è ormai stabilizzata; non ci sono più discussioni sugli assiomidiZermelo-Fraenkel; anche l'assiomadi scelta non suscita più perplessità da quando ha assunto la forma dei principî ...
Leggi Tutto
La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. I problemi di Hilbert e la matematica del nuovo secolo
David E. Rowe
I problemi di Hilbert e la matematica del nuovo secolo
Problemi matematici [...] -1978) il quale, nel 1938, dimostrò che la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo è compatibile con gli assiomidiZermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi. Gödel pensava che l'ipotesi del continuo fosse, in realtà, indipendente dal sistema ...
Leggi Tutto
Godel, teorema di
Gödel, teorema di teorema che riguarda l’incompletezza di un’ampia classe di teorie formali, tra cui la teoria formale dell’aritmetica (→ aritmetica, sistema formale per la). Costituisce [...] teoria degli insiemi formalizzata dagli assiomidiZermelo-Fraenkel.
Un ulteriore sviluppo dell’incompletezza sintattica dell’aritmetica è espresso dal secondo teorema di Gödel secondo il quale «se un sistema diassiomi S dell’aritmetica è coerente ...
Leggi Tutto
sistema formale
sistema formale apparato simbolico mediante il quale è possibile rappresentare formalmente i procedimenti logico-deduttivi delle dimostrazioni matematiche. Esempi di sistemi formali sono [...] le teorie matematiche: si pensi al sistema diassiomidi → Peano per l’aritmetica o al sistema diassiomidiZermelo-Fraenkel per la teoria degli insiemi (→ Zermelo-Fraenkel, teoria di). La nozione di sistema formale, come attualmente si intende, è ...
Leggi Tutto
comprensione, principio di
comprensione, principio di uno dei principi cardine della teoria ingenua degli insiemi (→ insiemi, teoria degli). Fu enunciato da G. Frege nel 1879 nell’opera Begriffsschrift, [...] elemento.
Si considera quindi l’insieme A di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi di comprensione; tale compito è stato assolto dalle teorie assiomatiche degli insiemi come per esempio la teoria fondata sugli assiomidi → Zermelo-Fraenkel ...
Leggi Tutto
rimpiazzamento
rimpiazzaménto s. m. [der. di rimpiazzare]. – Forma ormai non com. per rimpiazzo, ma specifica nelle locuz. della logica matematica assioma di r., assioma introdotto da A. A. Fraenkel, intorno al 1922, per eliminare alcuni inconvenienti...