La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Equazioni differenziali alle derivate parziali
Haïm Brezis
Felix Browder
Equazioni differenziali alle derivate parziali
Lo studio delle equazioni [...] nel 1906 che una successione minimizzante per l'integrale di Dirichlet è una successionediCauchy nella norma di Dirichlet, e quindi converge in un opportuno spazio di completamento (rispetto alla norma di Dirichlet) a una funzione generalizzata ...
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R
R (insieme dei numeri reali) insieme numerico, denotato con il simbolo R, che comprende tutti i numeri che è possibile scrivere in forma decimale, con parte decimale finita, infinita periodica o infinita [...] quoziente Γ/~:
dove [{xn}] indica la classe di equivalenza della successionediCauchy {xn}. Un numero reale è dunque una classe di equivalenza disuccessionidi numeri razionali che soddisfano la condizione diCauchy.
Le operazioni in R
Se {xn} e ...
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spazio metrico
Luca Tomassini
Nozione introdotta nel 1906 da Maurice Fréchet e sviluppata poco dopo da Felix Hausdorff; è un risultato diretto dell’analisi delle principali proprietà astratte della [...] m,n>0. Uno spazio metrico I si dice completo se ogni successionediCauchy è convergente, ovvero il suo limite esiste ed è un elemento di I. In uno spazio metrico (I,d) si chiama palla aperta di centro x0 e raggio r>0 l’insieme dei punti la cui ...
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norma
Luca Tomassini
Sia X uno spazio vettoriale. Un’applicazione ∣∣∙∣∣:X→ℝ si dice una norma se verifica i seguenti assiomi: (a) ∣∣x∣∣≥0, per ogni x∈X; ∣∣x∣∣=0 se e soltanto se x=0; (b) ∣∣λx∣∣=∣λ∣·∣∣x∣∣, [...] per la sua generalità. Uno spazio normato e completo (come spazio metrico), ossia tale che ogni successionediCauchy è convergente, si dice spazio di Banach. Non è affatto necessario che lo spazio normato (X,∣∣∙∣∣) sia uno spazio vettoriale a ...
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Banach Stefan
Banach 〈bànak〉 Stefan [STF] (Cracovia 1892 - Leopoli 1945) Prof. (1924) nell'univ. di Leopoli. ◆ [ALG] Algebra di B. (propr., algebra commutativa di B.): è un'algebra nella quale si sia [...] fedele, o riducibile, di un'algebra di B.: v. algebre di operatori: I 94 a. ◆ [ALG] Spazio di B.: spazio vettoriale che gode delle proprietà di essere normato e completo, cioè tale che ogni successionediCauchy converge a un elemento ...
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spazio normato
spazio normato spazio vettoriale V, reale o complesso, nel quale è definita una → norma || . ||: V → [0, +∞). Una norma su V induce una → metrica d(u, v) = ||u – v|| e, pertanto, definisce [...] completo, cioè tale che in esso ogni successionediCauchy è convergente, è detto spazio di → Banach. Uno spazio normato in cui resta definito un prodotto interno, il prodotto scalare (x, y) appunto, e lo spazio assume la struttura di spazio euclideo. ...
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Banach, spazio di
Banach, spazio di spazio vettoriale (definito sul campo dei numeri reali o complessi), in cui è definita una → norma che induce una → metrica rispetto alla quale ogni successionedi [...] Cauchy è convergente a un elemento dello spazio. È dunque uno spazio vettoriale e completo (X, ‖...‖). Importanti spazi di Banach sono:
• gli spazi di in Ω;
• gli spazi di → Sobolev Wk,p(Ω);
• lo → spazio l p delle successioni x = {ξk} a potenza ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. L'analisi numerica
Paolo Zellini
L'analisi numerica
L'analisi numerica moderna comincia a delinearsi verso la metà del XX sec., con le prime [...] ∥x−y∥, con λ reale e 0〈λ〈1, G si chiama operatore di contrazione. Si dimostra allora (teorema di contrazione) che se X è completo (ogni successionediCauchydi elementi di X converge a un elemento di X) esiste uno e un solo punto α tale che α=G(α) e ...
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ampliamento
ampliamento procedura che permette di costruire un insieme numerico più ampio e che gode di maggiori proprietà rispetto all’insieme di partenza. In generale, dato un insieme I con una o più [...] che non convergono a numeri razionali. Si definisce quindi R come la chiusura di Q rispetto all’operazione matematica che associa a ogni successionediCauchydi numeri razionali il suo limite. Una tale operazione è detta completamento (metrico). Se ...
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spazio metrico
spazio metrico insieme X in cui è definita una → metrica, cioè una applicazione d: X × X → R che, per ogni x, y, z ∈ X, soddisfa le seguenti proprietà:
• d(x, y) ≥ 0
• d(x, y) = 0 ⇔ x [...] , x) < ε almeno da un certo indice in poi. Lo spazio metrico si dice completo se è convergente ogni successionediCauchy, ossia ogni successione tale che per ogni ε > 0 risulta d(xn, xm) < ε almeno per tutti gli indici n, m sufficientemente ...
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