PRODOTTI INFINITI

PRODOTTI INFINITI

Data una successione d'infiniti numeri, reali o complessi,

formiamo la nuova successione

con P₁ = a₁, P₂ = a₁ a₂, ..., P_n = P_n-1 a_n = a₁ a₂ ... a_n-1 a_n, ... Per evitare ogni possibilità d'equivoco, supporremo che, nella successione [1], non compaiano infiniti a_n = 0.

Il procedimento di calcolo o "algoritmo", con cui dalla [1] si passa alla [2], si chiama p. i. dei numeri a_n (presi nell'ordine indicato). Questi si chiamano i "fattori" (o termini), i P_n si chiamano i "prodotti parziali" del p. infinito.

Il p. i. si dice "convergente":

1) se non compaiono nella [1] infiniti a_n = o;

2) se, non essendo a_m+r = 0 per alcun r ≥ 1, la successione di numeri

tende, per r → ∞, a un numero determinato, finito e ≠ 0. Posto

p_r = A_m, il numero

(che evidentemente non dipende da m) si chiama il "valore" del p. i. e si scrive:

Il p. i. "converge" allora a P.

Il primo p. i. del quale si abbia notizia nella storia, è quello trovato da F. Viète (1646):

Poco dopo (1656), J. Wallis scoperse un altro celebre p. i.:

Ma solo con Eulero (1707-82), al quale sono dovuti numerosi p. i. importanti, s'inizia lo studio sistematico di questo algoritmo infinito che presenta fondamentali analogie e stretti legami concettuali con quello della serie (XXXI, p. 436).

I p. i. (allo stesso modo delle serie) possono essere utili per il calcolo del limite di una qualunque successione {c_n}, nella quale nessun numero c_n sia nullo. Infatti c_n risulta essere il prodotto parziale P_n del p.i.

1. Generalità. Prodotti infiniti e serie fra loro equivalenti. -

I) Condizione necessaria e sufficiente affinché un p. i. sia convergente, è che, preso un numero ε > 0 piccolo a piacere, esista un indice ν tale che, ∀n > ν e qualunque sia r = 1, 2, 3, ..., risulti

Da questo teorema fondamentale si deducono due corollari immediati.

II) Condizione necessaria affinché un p. i. sia convergente, è che sia

a_n = 1 (ma si può mostrare, su esempi, che tale condizione non è sufficiente).

III) Se il p.i.

a_n è convergente, sono convergenti anche tutti i p.i.

a_r+n, per r = 1, 2, ..., e risulta:

a_r+n è l'analogo del resto r-esimo di una serie.

Il corollario II suggerisce di esprimere ogni fattore a_n nella forma 1 + b_n. Esso può allora enunciarsi dicendo che condizione necessaria per la convergenza del p. i.

(1 + b_n), è che sia

b_n = 0.

Un qualunque p. i.

(1 + b_n) può trasformarsi in una serie

tale che i prodotti parziali del primo siano uguali ai resti di ugual indice della seconda. Basta porre:

Le medesime relazioni [3] servono ovviamente a trasformare, volendo, in un p. i. una qualunque serie le cui ridotte siano tutte ≠0.

2. Convergenza semplice e convergenza assoluta. - Un p. i.

(1 + b_n) si dice "assolutamente convergente", se converge il p. i.

(1 + ∣ b_n ∣). Si dimostra che dalla convergenza di questo secondo p. i. discende la convergenza anche del primo. Ma può accadere che il primo sia convergente, senza che lo sia anche il secondo: in tal caso, si è soliti parlare di "convergenza semplice" del p. i.

(1 + b_n). In proposito valgono i seguenti teoremi.

IV) Condizione necessaria e sufficiente affinché il p. i.

(1 + b_n) sia assolutamente convergente, è che tale sia la serie

(cioè che converga la serie, a termini reali e positivi,

V) Condizione necessaria e sufficiente affinché il p. i.

(1 + b_n) sia assolutamente convergente, è che esso converga indipendentemente dall'ordine dei suoi termini; quando ciò accade, il valore del p. i. non dipende da tale ordine (U. Dini, 1868). In altre parole: il valore del p. i. resta invariato, se gl'infiniti fattori 1 + b_n si moltiplicano fra loro in altro ordine scelto a piacere (proprietà commutativa, in senso lato).

Si è soliti chiamare la convergenza del p. i., in questo caso, "incondizionata", "condizionata" nel caso opposto.

Esempi.

1°) È

Infatti si ha:

2°)

Infatti:

3°) I due p. i.

sono entrambi convergenti per α > 1, divergente per α ≤ 1. In particolare, si trova:

I p. i. degli esempi 1°, 2° e dell'esempio 3° per α > 1, sono assolutamente e quindi anche incondizionatamente convergenti.

VI) Dato il p. i.

(1 + b_n), si supponga la serie

assolutamente convergente. Allora condizione necessaria e sufficiente affinché il p. i. sia convergente, è che converga anche la serie

Si osservi che, a priori, non si può dire che la serie

se convergente, debba necessariamente esserlo anche assolutamente. Per es., se

si ha

Se i numeri b_n sono tutti reali e positivi, il p. i.

(1 + b_n) è convergente se e solo se tale è la serie

(v. teor. IV). Ebbene vale l'analogo teorema:

VII) Se i numeri b_n sono tutti reali e positivi, il p. i.

(1 − b_n) è convergente se e solo se tale è la serie

3. Criterio logaritmico di convergenza. -

VIII) Condizione necessaria è sufficiente affinché il p. i.

(1 + b_n) con b₁, b₂, ..., b_n, ... tutti reali, sia convergente (assolutamente convergente), è che la serie

(per un conveniente indice m) sia convergente (assolutamente convergente). Sotto questa condizione, detta L la somma della serie [4], risulta:

(L'indice m nominato è certo "conveniente", se ∣ b_n ∣ 〈 1 per ogni n > m).

IX) La convergenza della serie

e la convergenza assoluta della serie

con i termini b_n reali o complessi, sono insieme condizioni sufficienti per la convergenza tanto della serie

ln (1 + b_n) (per un conveniente indice m), quanto del p. i.

(1 + b_n).

(L'indice m nominato è certo "conveniente", se ∣ b_n ∣ 〈 1/2 per ogni n > m).

4. Prodotti infiniti di funzioni. - Un p. i., i cui fattori sono funzioni, è del tipo

indicando con f_n(x) (n = 1, 2, ...) funzioni, reali o complesse, definite in uno stesso insieme E di valori x, reali o complessi. Il p. i. [5] si dice "convergere in E", se esso converge in ogni singolo x ∈ E: in tal caso, il suo valore è una funzione F(x) definita in tutto E.

La condizione di convergenza di Cauchy (coi significati di ε e ν dati al n. 1.I) si scrive ora:

Se poi, in tale condizione, l'indice ν può sempre esser scelto indipendentemente da x ∈ E, allora il p. i. [5] si dice "uniformemente convergente" in E.

Per es., un p. i. della forma

(1 + a_n x) converge in tutto il piano complesso, se

è una serie assolutamente convergente (v. n. 2, IV), oppure se

è convergente e

è assolutamente convergente (v. n. 2, VI). Lo stesso per i p. i. delle forme

(1+a_nx²),

(1 + a_n x³), ecc. Casi particolari:

X) Se le funzioni f_n(x) sono tutte definite nell'insieme E e tutte continue in uno stesso punto x₀ ∈ E, e se la serie

∣ f_n(x) ∣ converge uniformemente in E, allora il p. i. [5] converge in tutto E e rappresenta ivi una funzione F(x) che risulta anch'essa continua in x₀. (La dimostrazione si vale essenzialmente del n. 2, IV e della definizione di uniforme convergenza, data poco sopra per il p. i. [5]).

XI) Se le funzioni f_n(x) sono tutte derivabili in uno stesso intervallo I dell'asse reale, e se in I sono uniformemente convergenti entrambe le serie

allora il p. i. [5] rappresenta una funzione F(x) derivabile in tutto I. E precisamente risulta:

5. Rappresentazione delle funzioni intere con prodotti infiniti. - Si chiama "funzione intera" la somma di una serie di potenze che converga in tutto il piano complesso. A parte le costanti (reali o complesse) e le funzioni razionali intere, rappresentate da polinomi di grado n ≥ 1, se n è il numero dei loro zeri (cioè dei punti del piano complesso nei quali esse si annullano) ciascuno contato tante volte quanto è il suo ordine di moltiplicità, interessano qui le funzioni f(x) intere trascendenti. Queste sono caratterizzate dall'annullarsi in una successione infinita {α_n} di punti, tale che

α_n = ∞.

Supponiamo tale successione ordinata in modo che sia ∣ α_n ∣ ≤ ∣ α_n+1 ∣, ∀n > ν = 1, 2, 3, ... (Più valori α_n possono coincidere fra loro, o comunque avere moduli uguali). Supposto anche α₁ ≠ 0, è certo possibile (in infiniti modi) determinare una successione di numeri naturali λ_n ≥ 1, tali che la serie

sia convergente per ogni numero complesso z (per es., basta prendere λ_n = n).

Ciò premesso, ogni f (x) intera che si annulli in tutti e soli i punti α_n ed eventualmente anche nell'origine, è del tipo generale

ove sono indicati:

1) con g(x) una funzione intera del tutto arbitraria;

2) con m l'ordine di molteplicità dell'origine, se questa è uno zero per la f (x) (è m = 0 nell'ipotesi contraria).

Per l'esatta comprensione della [6] deve inoltre intendersi:

che, quando è λ_n = 1, il fattore esponenziale corrispondente (sotto il segno Π) è sostituito dalla costante 1;

e che l'eventuale molteplicità di ogni zero α_n venga automaticamente in evidenza per il fatto che altrettanti fattori successivi, scritti fra le graffe, si moltiplichino fra loro e si sostituiscano complessivamente col loro prodotto.

Questo importantissimo teorema è dovuto a K. Weierstrass (1876), a seguito di precedenti, particolari risultati di L. Euler e di K. F. Gauss.

Come immediata applicazione della [6], si ha lo sviluppo in p. i.:

che subito si scrive, più semplicemente (v. sopra, al n. 4),

Per essere cos π x = sen π(1/2 − x), con facili passaggi e tenendo conto del prodotto infinito di Wallis (v. sopra), si ottiene:

6. Altre applicazioni della teoria dei prodotti infiniti. - Particolari p. i. sono oggetto di numerosi studi e sono efficaci strumenti di calcolo nell'analisi moderna. Citiamo i seguenti:

1) Lo sviluppo del reciproco della funzione gamma

sviluppo che rientra, come caso particolare, nel precedente [6]. Ivi è γ =

(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n − ln n) la nota "costante di Eulero". La [7] è uno strumento utile nelle ricerche sulle funzioni ipergeometriche.

2) Il p.i.

considerato come funzione di a e di q, già studiato da Gauss e da Eulero, è particolarmente importante nella teoria delle funzioni ipergeometriche generalizzate. Recentemente L. Gatteschi lo ha ripreso, indicandone un metodo iterativo di calcolo numerico. L. J. Slater ha precedentemente costruito, ma con procedimento diverso, una tavola del reciproco del p. i. [8].

3) Il p.i.

(1 − 1/p^s), nel quale l'indice p percorre ordinatamente la successione dei numeri primi, è di applicazione frequente in teoria dei numeri.

Si dimostra che è:

dove

è la celebre funzione zeta di Riemann.

Posto s = σ + i t (con σ e t reali), il p. i. [9] risulta uniformemente convergente in ogni semipiano complesso del tipo: σ ≥ 1 + δ, con δ positivo e arbitrariamente piccolo.

Bibl.: K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Berlino 1947; H. Hasse, Vorlesungen über Zahlentheorie, ivi 1950; K. Knopp, Infinite sequences and series, New York 1956; L. V. Ahlfors, Complex analysis, ivi 1966; L. J. Slater, Generalized hypergeometric functions, Cambridge 1966 (con bibliografia); J. Dieudonné, Calcul infinitésimal, Parigi 1968; L. Gatteschi, Procedimenti iterativi per il calcolo numerico di due prodotti infiniti, Rendiconti Seminario matematico di Torino, vol. 29, 1969-70.