problema ben posto

problema ben posto

problema ben posto nozione formulata da J. Hadamard aggiungendo alle usuali richieste di esistenza e unicità della soluzione quella di dipendenza continua dai dati. Per precisare questa nozione è necessario scegliere un quadro funzionale in cui ambientare il problema. Si deve cioè scegliere uno spazio X (genericamente, uno spazio vettoriale topologico) in cui ambientare le soluzioni, e uno spazio D in cui assegnare i dati del problema. Si dice allora che un problema è ben posto se valgono le condizioni:

1) per ogni dato d ∈ D esiste una e una sola soluzione x ∈ X;

2) la soluzione dipende con continuità dal dato, cioè se d′ → d (nel senso della topologia di D) la corrispondente soluzione x′ → x (nel senso di X).

Se D e X sono spazi di Banach, la dipendenza continua si scrive ‖x′ − x‖_X → 0 per ‖d′ − d ‖_D → 0. Ciò avviene per esempio se vale una condizione di Lipschitz ‖x′ − x″‖_X ≤ c ‖d′ − d″‖_D, dove x′ e x″ sono le soluzioni corrispondenti ai dati d′ e d″. Se manca la dipendenza continua, nessuno schema di approssimazione può essere utilizzato per valutare la soluzione, anche qualora ne sia garantita esistenza e unicità: infatti a un piccolo errore sui dati, corrispondente a una loro (buona) approssimazione, corrisponde un errore nella soluzione che non può essere controllato. Per esempio, il problema di Dirichlet u = g su ∂Ω per l’equazione di Laplace Δu = 0 in un dominio Ω a frontiera ∂Ω lipschitziana è ben posto se si sceglie X = C⁰⁽Ω̅), D = C⁰(∂Ω), con le norme del massimo. La norma del massimo in uno spazio X = C⁰(T) con T chiuso e limitato, incluso in Rⁿ, è data da

In questo caso T è Ω̅ e la soluzione del problema esiste e il principio del massimo (→ funzione subarmonica) garantisce che risulti ‖u′ − u‖_X ≤ ‖g′ − g‖_D. Invece il problema di Cauchy non è ben posto per la stessa equazione: per esempio, se si considera il semipiano y ≥ 0, al dato g = u(x, 0) = (sinnx)/n corrisponde la soluzione u(x, y) = (sinnx ⋅ sinhny)/n. Per n → ∞, il dato tende a 0 nella norma del massimo, mentre la soluzione non converge in alcuno spazio topologico. Viene dunque a mancare la dipendenza continua.

Nel caso di problemi dell’algebra lineare la nozione è legata all’indice di condizionamento del problema (→ algoritmo, stabilità di un).