predecessore

predecessore

predecessore o precedente, di un numero naturale n non nullo indica il numero che viene immediatamente prima di n nell’usuale ordinamento di N: 0, 1, 2, 3… Per esempio il predecessore di 3 è 2, il predecessore di 2 è 1 e il predecessore di 1 è 0 mentre 0 non ha predecessori nell’insieme dei numeri naturali. È possibile dimostrare, formalizzando la teoria dei numeri con opportuni assiomi (per esempio, → Peano, assiomi di), che il predecessore di un numero è unico ed esiste sempre se il numero è diverso da 0. Inoltre, se due numeri m e n hanno lo stesso predecessore, allora m e n sono uguali fra loro.

La funzione predecessore, qui rappresentata con il simbolo p(n), è una funzione aritmetica che associa a ogni numero naturale n diverso da 0 il suo predecessore. Affinché essa sia una funzione totale, cioè definita per tutti i numeri naturali, si assume, per convenzione, che il predecessore di 0 sia 0 stesso (p(0) = 0). La funzione p(n) è una → funzione ricorsiva primitiva. Essa può essere definita usando le funzioni di base proiezione (indicata con il simbolo P₁²(m, n)), che associa a ogni coppia di numeri m e n il primo dei due, e zero (indicata con il simbolo Z(n)), funzione costante che assume sempre il valore 0, e lo schema della ricorsione, nel modo seguente:

• p(0) = Z(0)

• p(n′ ) = P₁²(n, p(n))

dove n ′ indica il successore di n nell’ordinamento dei naturali. Utilizzando la funzione predecessore è possibile definire ricorsivamente la funzione sottrazione (indicata con Sott (m, n)) fra due numeri naturali m e n:

• Sott (m, 0) = m

• Sott (m, n ′) = Sott (p(m), n)

Si noti che, in base alla definizione precedente, la differenza fra due numeri m e n dà come risultato 0 se m è minore o uguale a n.