polinomio

polinomio

polinomio somma formale di un numero finito di → monomi, detti termini del polinomio; i coefficienti di un polinomio sono i coefficienti dei termini che lo compongono. Se un polinomio p(x) è privo di termini, si dice che esso è nullo ed è indicato con il simbolo 0. Un polinomio formato da un solo termine è detto monomio, uno formato da due termini è detto binomio, uno formato da tre termini è detto trinomio, uno formato da quattro termini è detto quadrinomio. Un polinomio si dice in forma ridotta se è privo di termini simili; nel seguito si supporrà sempre che il polinomio sia in forma ridotta. Il maggiore tra i gradi dei termini che compongono un polinomio è detto grado del polinomio (intendendo per grado di un monomio la somma degli esponenti delle sue lettere); il termine di grado zero, eventualmente nullo, è detto termine noto del polinomio. Un polinomio costante (eventualmente il polinomio nullo) ha grado 0: esso è un polinomio costituito dal solo termine noto. Un polinomio si dice omogeneo di grado m se tutti i monomi che lo compongono hanno grado m. Si dice opposto di un polinomio il polinomio da esso ottenuto cambiando il segno di tutti i termini che lo compongono. Un polinomio si dice ordinato rispetto a una lettera, chiamata lettera ordinatrice del polinomio, se i suoi termini si succedono in modo che gli esponenti della lettera vadano gradatamente aumentando, nel qual caso il polinomio si dice ordinato per potenze crescenti, oppure vadano gradatamente diminuendo, e in tal caso si dice ordinato per potenze decrescenti. Per es. il polinomio x ³ − 2x ²y + xy ² − 4y ³ è ordinato per potenze crescenti di y e decrescenti di x. Se i termini di un polinomio sono potenze di una stessa lettera, con coefficienti numerici, questa lettera si dice variabile, e il polinomio si dice funzione di quella variabile.

Due polinomi possono essere naturalmente sommati e moltiplicati usando le regole formali dell’addizione e della moltiplicazione: il polinomio somma è il polinomio i cui termini (in forma non ridotta) sono le somme dei termini dei due polinomi, ciascuno con il suo segno; il polinomio differenza è la somma del primo con l’opposto del secondo. Il polinomio prodotto è invece il polinomio i cui termini (in forma non ridotta) sono i prodotti di ogni termine del primo polinomio per ogni temine del secondo. A partire dall’operazione di moltiplicazione tra polinomi, si definisce l’operazione di elevazione a potenza di un polinomio per un esponente naturale n: esso è il polinomio ottenuto moltiplicando per sé stesso il polinomio dato n volte.

Polinomi in una indeterminata

Un polinomio in una indeterminata è un’espressione formale del tipo

dove gli a_i sono elementi di un anello A, detti i coefficienti del polinomio, e dove la lettera x indica una indeterminata dell’anello A. Canonicamente, un polinomio in una indeterminata è scritto ordinando i suoi termini secondo le potenze decrescenti dell’indeterminata. Il coefficiente a₀ del termine di grado massimo è detto coefficiente direttore del polinomio; il polinomio è detto monico se il suo coefficiente direttore è 1. Per esempio, il polinomio p(x) = x ⁴ + 2x ³ − 5x + 2 a coefficienti in Z, è un quadrinomio ordinato secondo le potenze decrescenti dell’indeterminata x, è di quarto grado, ha come coefficienti 1, 2, 0, −5, 2 (che ne è il termine noto) ed è monico, perché il suo coefficiente direttore è 1. Dato un polinomio in un’indeterminata p(x) e a coefficienti in A, la funzione Φ_p: A → A che a ogni elemento a di A associa l’elemento p(a), ottenuto calcolando p(x) in a (ossia sostituendo a all’indeterminata x), è detta funzione polinomiale associata a p(x). Il principio d’identità dei polinomi sancisce il fatto che due polinomi sono uguali (vale a dire sono uguali tutti i loro coefficienti) se e solo se essi inducono la stessa funzione polinomiale su A. Per il precedente polinomio, per esempio, interpretato come funzione polinomiale su Z, si ha p(−2) = (−2)⁴ + 2(−2)³ − 5(−2) + 2 = 12. Nel caso particolare di due polinomi in un’indeterminata a(x) di grado n e b(x) di grado m, l’addizione di due polinomi è definita da

(dove k è il massimo tra m e n), mentre la moltiplicazione è definita da

dove

L’insieme dei polinomi in una indeterminata, dotato di tali operazioni, costituisce un anello, denotato con il simbolo A[x] e detto anello dei polinomi a coefficienti in A nell’indeterminata x. Molte delle proprietà dell’anello A si ritrovano nell’anello A[x], in particolare l’esistenza di unità, la commutatività, l’essere integro, l’essere un dominio a fattorizzazione unica (→ polinomi, anello dei). Di particolare importanza è il caso in cui l’anello A è un campo K: in tale caso l’anello K[x] risulta essere un dominio euclideo e quindi un dominio a ideali principali e un dominio a fattorizzazione unica. Ciò vuol dire che, comunque presi due polinomi a(x) e b(x) in K[x], sono determinati due polinomi q(x) e r(x) tali che a(x) = b(x)q(x) + r(x), dove r(x) è nullo oppure ha grado minore del grado di b(x): q(x) è il quoziente e r(x) è il resto della divisione (con resto) di a(x) per b(x). Se a(x) e b(x) hanno grado rispettivamente n e m, allora q(x) ha grado n − m, a meno che non valga n < m, nel qual caso risulta q(x) = 0 e r(x) = a(x). Se r(x) = 0 allora a(x) è divisibile per b(x) e b(x) è detto divisore di a(x); corrispondentemente, a(x) è detto multiplo di b(x). L’operazione che associa a una coppia di polinomi a(x) e b(x) il quoziente e il resto della divisione di a(x) per b(x) è detta divisione con resto (o divisione euclidea): è possibile descrivere algoritmi espliciti per calcolare i risultati di tale operazione (→ divisione).

Se a(x) e b(x) sono due polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo K, il loro massimo comune divisore (mcd) è il polinomio d(x) di grado massimo che sia contemporaneamente divisore di a(x) e di b(x) e tale che i divisori comuni di a(x) e b(x) sono tutti e soli i divisori di d(x); esso è determinato a meno di una costante moltiplicativa ed è convenzionalmente preso con coefficiente direttore 1. Se il massimo comune divisore di due polinomi è una costante, allora i due polinomi sono detti primi tra loro (o coprimi). Il massimo comune divisore di due polinomi è ottenibile mediante l’algoritmo di → Euclide. Similmente, si definisce il minimo comune multiplo (mcm) di due polinomi a(x) e b(x) come il polinomio m(x) non nullo di grado minimo che sia contemporaneamente multiplo di a(x) e di b(x) e tale che i multipli comuni di a(x) e b(x) sono tutti e soli i multipli di m(x); esso è determinato a meno di una costante moltiplicativa ed è convenzionalmente preso con coefficiente direttore uno. Un polinomio p(x) si dice irriducibile se non ammette divisori non costanti di grado inferiore, altrimenti esso è detto riducibile (o anche decomponibile o fattorizzabile): scomporre (o anche decomporre o fattorizzare) un polinomio p(x) significa determinarne una → fattorizzazione, vale a dire determinare k polinomi di grado non nullo p₁(x), …, p_k(x) tali che valga l’uguaglianza p(x) = p₁(x) ⋅ … ⋅ p_k(x) (→ polinomio, scomposizione in fattori di un). Se p(x) ha grado n e se p_i(x) ha grado n_i (per i = 1, …, k), vale allora la relazione n = n₁ + … + n_k. Essendo un dominio euclideo, l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K è un dominio a fattorizzazione unica, vale a dire ogni polinomio ammette, a meno di riordinamenti dei fattori, un’unica scomposizione in polinomi irriducibili.

Gli zeri di un polinomio

Se α è un elemento del campo K, e se p(α) = 0, l’elemento α è detto uno zero (o radice) di p(x). Se α è una radice di un polinomio p(x), allora il massimo numero naturale m per cui (x − α)^m divide p(x) è detto molteplicità di α in p(x). Se p(x) ha grado n, allora la somma delle molteplicità dei suoi zeri è minore di o uguale a n, vale a dire che il numero degli zeri di un polinomio, contati con la rispettiva molteplicità, non supera mai il grado del polinomio stesso: un campo K tale che ogni polinomio in K[x] ammette tante radici (contate con la rispettiva molteplicità) quante il suo grado è detto algebricamente chiuso. In modo equivalente, un campo algebricamente chiuso è un campo in cui gli unici polinomi irriducibili sono quelli di grado 1: un esempio di campo algebricamente chiuso è il campo dei numeri complessi (→ algebra, teorema fondamentale della). Se K è un campo algebricamente chiuso e se p(x) è un polinomio di grado n a coefficienti in K, allora la sua scomposizione in polinomi irriducibili è data da

dove a₀ è il coefficiente direttore di p(x) e dove α₁, …, α_k sono gli zeri distinti di p(x), di molteplicità rispettivamente m₁, …, m_k (dove m₁ + … +m_k = n). Se K non è algebricamente chiuso, è comunque possibile costruire una sua estensione in cui ogni polinomio a coefficienti in K è fattorizzabile come prodotto di polinomi di grado 1, vale a dire in cui ogni polinomio in K[x] contenga tutte le sue n radici, dove n è il suo grado. Più in particolare, esiste sempre un’estensione di K algebricamente chiusa; la minima estensione algebricamente chiusa di K ne è detta la chiusura algebrica ed è indicata con il simbolo K̅.

Esistono forti legami tra gli zeri di un polinomio p(x) è i suoi coefficienti: in particolare, se p(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n e se α₁, …, α_n sono gli n zeri di p(x) (eventualmente ripetuti), valgono allora le relazioni:

Se A è un dominio a fattorizzazione unica e se K = Q(A) è il suo campo dei quozienti, allora A[x] ⊆ K[x] e vale il seguente risultato dovuto a Gauss: un polinomio a coefficienti in A riducibile in K[x] è riducibile anche in A[x]. Perciò, in particolare, un polinomio a coefficienti in Z è irriducibile su Z se e solo se lo è su Q.

Polinomi in più indeterminate

Similmente al caso di una indeterminata, le operazioni di addizione e moltiplicazione determinano una struttura di anello anche sull’insieme dei polinomi in k indeterminate x₁, x₂, …, x_k a coefficienti in un dato anello A. Dotato di tale struttura, tale anello è indicato con il simbolo A[x₁, x₂, …, x_k]. Come nel caso di una indeterminata, l’anello dei polinomi in k indeterminate eredita molte proprietà da A, quali l’esistenza di unità, la commutatività, l’essere integro, l’essere un dominio a fattorizzazione unica. In particolare l’anello K[x₁, x₂, …, x_k] dei polinomi in k indeterminate a coefficienti in un campo K è un dominio a fattorizzazione unica e sono anche qui definite le nozioni di massimo comune divisore e di minimo comune multiplo tra due suoi elementi; al contrario del caso di un’indeterminata, invece, esso non è un dominio euclideo, vale a dire non è definita la divisione euclidea tra due suoi elementi.