Fermat, Pierre de

Fermat, Pierre de

Con il suo 'ultimo teorema' ha impegnato i matematici per oltre tre secoli

Fermat contribuì alla nascita di importanti teorie quali il calcolo delle probabilità e la geometria analitica. È noto soprattutto per aver formulato uno dei teoremi più celebri nella storia della matematica, il cosiddetto ultimo teorema di Fermat, che è stato dimostrato oltre tre secoli dopo la sua enunciazione

Un avvocato appassionato di matematica

Il francese Pierre de Fermat è uno fra i più importanti matematici del 17° secolo, sebbene, nel corso della sua vita, abbia per lo più svolto la professione di uomo di legge. Ha lasciato numerosi lavori sulla teoria dei numeri e ha contribuito alla nascita di moderne teorie matematiche di fondamentale importanza, quali in particolare la geometria analitica, il calcolo infinitesimale e il calcolo delle probabilità.

I lavori di Fermat, però, sono stati in gran parte resi noti solo dopo la sua morte, e, per questo motivo, molti suoi contributi vengono spesso associati alle opere di altri matematici, come quelle di Cartesio per quel che riguarda la geometria analitica.

L'ultimo teorema di Fermat

Il teorema di Pitagora, la proprietà geometrica che lega tra loro le misure dei lati di un triangolo rettangolo, dice che se si fa la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti si ottiene l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa. Se indichiamo con x e y le misure dei cateti e con z la misura dell'ipotenusa, allora la somma dei prodotti di x e di y per sé stessi è proprio uguale al prodotto di z per sé stesso. Scritto in modo sintetico, ciò significa che x²+y²=z² e tre numeri interi che soddisfano questa equazione formano una terna pitagorica (x, y, z). Per esempio, possiamo subito verificare che (3, 4, 5) è una terna pitagorica: infatti, se si somma il quadrato di 3 (9) al quadrato di 4 (16) si ottiene 25 che è proprio il quadrato di 5. Si sa da molto tempo che esistono infinite terne di questo tipo.

Nel teorema di Pitagora non facciamo che sommare quadrati per ottenere quadrati. Ma cosa succede se invece dei quadrati si hanno cubi? Continua a valere una eguaglianza come quella di prima per le somme di cubi? Ossia, esistono terne di numeri interi (x, y, z) che verificano l'equazione x³+y³=z³ ?

Se, per esempio, prendiamo x=2, y=0, z=2, va tutto bene, l'eguaglianza è verificata. Ma lo stesso continua a valere anche quando x, y e z sono tutti diversi da zero?

Che cosa succede nel caso della quarta potenza, della quinta potenza e così via, delle grandezze considerate? Cioè, che cosa succede quando consideriamo un'equazione come xⁿ+yⁿ=zⁿ, dove n è un numero che può prendere, a nostro piacimento, come valori interi: n=3, n=4, e così via?

A forza di provare, ci si rende presto conto che non è molto facile trovare soluzioni per queste equazioni, cioè, terne di numeri interi tutti non nulli che le verificano; anzi, ci si rende conto che è praticamente impossibile. Questa impressione si trasformò in un'ipotesi o, come si dice spesso in matematica, in una congettura: non esistono terne di numeri interi tutti non nulli che soddisfano l'ultima equazione scritta, con n=3, 4, 5, … cioè per n maggiore di 2. Questa affermazione va sotto il nome di ultimo teorema di Fermat, perché fu il matematico francese a formularla per primo.

Una dimostrazione davvero complicata

Come si è visto, enunciare il teorema è molto semplice; dimostrarlo lo è invece assai meno. Dopo aver elaborato il teorema, Fermat lasciò scritto sul bordo del libro che stava leggendo ‒ l'Aritmetica del matematico alessandrino Diofanto, il principale libro dell'antichità sulla teoria dei numeri ‒ di conoscere la dimostrazione, ma di non avere spazio per scriverla. Da allora, l'ultimo teorema di Fermat è diventato una specie di ossessione per intere generazioni di matematici; molti di coloro che si occuparono dopo Fermat di teoria dei numeri provarono a dimostrarlo, riuscendo a farlo solo in alcuni casi particolari. La dimostrazione completa del teorema è stata ottenuta per mezzo di molti passi intermedi solo nel 1994, più di tre secoli dopo Fermat, dal matematico inglese Andrew Wiles.

Come spesso accade nello sviluppo della scienza, per cercare di raggiungere un obiettivo si è prodotta un'enorme quantità di conoscenze che ha aperto nuovi problemi e fornito stimoli per altre ricerche, persino oscurando quasi il punto da cui si era partiti.