per ogni

per ogni

per ogni o quantificatore universale, uno dei due → quantificatori fondamentali del linguaggio dei predicati (insieme al quantificatore esistenziale). Viene indicato con il simbolo ∀ ed è applicato a una variabile x che viene così “legata” (→ variabile legata) al quantificatore stesso in una espressione linguistica del tipo «per ogni x vale la proprietà P» espressa formalmente da: ∀xP(x). Per esempio, la frase: «ogni numero naturale moltiplicato per zero è uguale a zero» si formalizza con ∀x(x ⋅ 0 = 0) o con ∀x, x ⋅ 0 = 0. Dire che ogni x in un insieme A = {a₁, a₂, …, a_n} soddisfa una certa proprietà P equivale a dire che è vera la congiunzione generalizzata

estesa a tutti gli elementi di A. Il quantificatore universale può essere, quindi, interpretato come una congiunzione generalizzata (→ congiunzione). Dire che ogni x in un insieme A = {a₁, a_2, …, a_n} soddisfa una proprietà P equivale anche a dire che non esiste alcun x ∈ A tale che P(x) sia falsa; questa relazione lega, attraverso la negazione, il quantificatore universale al quantificatore esistenziale ∃ nel modo seguente: ∀xP(x) è logicamente equivalente a ￢∃x(￢P(x)).