OMOTETIA

OMOTETIA

. Se due triangoli ABC, A′B′C′ di uno stesso piano sono tali che le rette AA′, BB′, CC′ passino per uno stesso punto O, e due lati AB, BC del primo siano paralleli ai lati omologhi A′B′, B′C′ del secondo, anche i terzi lati AC, A′C′ sono paralleli; e, viceversa, se due triangoli ABC, A′B′C′ di uno stesso piano hanno i lati ordinatamente paralleli e le due rette AA′, BB′ non sono parallele, le rette AA′, BB′, CC′ passano per uno stesso punto O. I due triangoli ABC, A′B′C′ si dicono in tal caso omotetici fra loro rispetto al centro O.

Questa relazione fra triangoli si estende a figure quali si vogliano. Fissati ad arbitrio nel piano tre punti allineati O, A, A′, si faccia corrispondere a ogni altro punto B del piano quel punto B′ della retta OB che rende soddisfatta la proporzione OA : OA′ = OB : OB′ e giace, rispetto a O, dalla stessa parte di B o dalla parte opposta, secondo che A′, sulla retta OA, giace o no, rispetto a O, dalla stessa parte di A. Si ha così una corripondenza biunivoca fra i punti del piano (o, meglio, fra i punti di due piani sovrapposti), che si chiama omotetia di centro O. Il valore comune dei rapporti OA : OA′ ; OB : OB′, ..., preso positivamente o negativamente secondo che A e A′ (e quindi B e B′, ecc.) giacciono o no dalla stessa parte, rispetto a O, si dice rapporto di omotetia. Quando questo rapporto è eguale a − 1, lìomotetia si riduce alla simmetria rispetto a O.

In una omotetia a ogni retta corrisponde una retta (parallela), e a ogni angolo un angolo eguale, sicché due figure omotetiche sono simili, nel senso della geometria elementare; ma di più esse si trovano, l'una rispetto all'altra, in una posizione particolare. Viceversa, date comunque, nel piano, due figure simili, si può sempre portarne una a essere omotetica dell'altra rispetto a un centro preso ad arbitrio sul piano di questa seconda figura; e ciò si può fare in due modi (secondo che si vuole che il rapporto di omotetia sia positivo o negativo). Si avverta per altro che, siccome due figure dello stesso piano, le quali siano fra loro omotetiche, risultano sempre simili direttamente (v. similitudine), due figure complanari e simili inversamente non possono essere portate a essere in posizione di omotetia, se non facendo subire a una di esse un ribaltamento.

L'omotetia si definisce in modo perfettamente analogo nello spazio e anche qui figure omotetiche sono simili; ma, a differenza di quanto accade nel piano, questa similitudine, secondo che il rapporto di omotetia è positivo o negativo, risulta diretta o inversa, sicché, date due figure solide simili, e prefissato ad arbitrio un centro O, non vi è che un modo di portare una delle due figure a essere omotetica dell'altra rispetto a O.

L'omotetia è una delle trasformazioni, che si possono usare per la risoluzione dei problemi di geometria elementare (relativi alla similitudine delle figure). Dal punto di vista della geometria proiettiva, le omotetie sono particolari omografie; anzi rientrano fra le omologie (v. geometria, nn. 26,29), risultando caratterizzate fra queste dalla proprietà di avere come centro un punto proprio e come asse, o come piano di punti uniti, la retta impropria o, rispettivamente, il piano improprio, secondo che si tratta della omotetia piana o spaziale. Il rapporto di omotetia è l'invariante assoluto di questa particolare omologia.