numeri algebrici

numeri algebrici

Numeri complessi (in particolare reali) che siano radici di un polinomio f(x)=a_nxⁿ+...+a₁x+a₀ con coefficienti razionali non tutti nulli. Se α è un numero algebrico, allora tra tutti i polinomi con coefficienti razionali che lo hanno come radice ne esiste, unico, uno di grado minimo con coefficiente del termine di grado più alto uguale a 1. Tale polinomio è automaticamente irriducibile ed è detto polinomio minimo o irriducibile del numero algebrico α. Se il polinomio irriducibile di un numero algebrico α è di grado n, allora α stesso è detto avere grado n. L’esistenza di polinomi irriducibili di grado n arbitrario implica l’esistenza di numeri algebrici di grado parimenti arbitrario. Naturalmente, tutti e soli i numeri razionali sono algebrici di grado 1. L’identità immaginaria i è un numero algebrico di grado due poiché è radice del polinomio x²+1, mentre la radice ennesima di due 2^1/n (con n intero positivo arbitrario) è di grado n essendo radice del polinomio irriducibile xⁿ−2. Un’altra importante proprietà dei numeri algebrici è l’altezza, una nozione analoga a quella di denominatore di una frazione razionale. L’altezza di α è definita come il massimo tra i valori assoluti dei coefficienti del polinomio irriducibile e primitivo con coefficienti interi che ha α come radice; tale polinomio non necessariamente coincide con il polinomio minimo. Ricordiamo che un polinomio a coefficienti interi è primitivo se questi non hanno fattori comuni, ovvero non sono tutti divisibili per uno stesso intero. Somma, differenza, prodotto e quoziente (quando definito) di due numeri algebrici sono ancora numeri algebrici: essi formano dunque un campo, e in particolare anche una radice di un polinomio con coefficienti algebrici è algebrica. Un numero algebrico è detto intero algebrico se tutti i coefficienti del suo polinomio minimo sono interi. Per es., il numero 1+√√_2 è intero algebrico in quanto radice del polinomio x²−2x−1. Gli interi algebrici costituiscono un anello come i numeri interi, ma a differenza di questi ultimi costituiscono un sottoinsieme non discreto ma denso della retta reale ℝ. Ciononostante, Georg Cantor ha dimostrato nel 1872 che essi formano un insieme con cardinalità numerabile, un risultato che implica l’esistenza di numeri trascendenti (cioè che non sono radici di alcun polinomio a coefficienti interi).

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