modello minimo
modello minimo
In geometria algebrica un modello minimo di una varietà algebrica X (definita sul campo dei numeri complessi) è una varietà birazionalmente equivalente a quella data e che sia ‘il più semplice possibile’. La costruzione di modelli minimi è dunque un passo cruciale nella classificazione birazionale di varietà. Il Programma dei Modelli Minimi (MMP) prevede che se la dimensione di Kodaira di X è non negativa, allora esiste una varietà Y birazionale a X con fascio canonico numericamente effettivo, cioè tale che la sua restrizione a ogni curva contenuta in Y ha grado non-negativo. In tal caso Y è chiamato un modello minimo di X. Se X ha dimensione di Kodaira negativa, il MMP prevede l’esistenza di una varietà Y birazionalmente equivalente a X e di una fibrazione di Fano Y→Z (cioè di un morfismo la cui fibra generale sia di dimensione positiva) cosicché Z abbia dimensione inferiore a quella di Y e fascio anticanonico ampio. L’esistenza di varietà di dimensione 3 che non ammettono modello minimo liscio costringe a lavorare con varietà singolari per le quali, tuttavia, esista una nozione di fascio canonico e si possa testarne l’effetività numerica. Di qui la nozione di varietà terminali. Tale programma è stato realizzato per curve, per superfici grazie ai lavori della scuola italiana svolti agli inizi del XX sec., mentre per varietà di dimensione 3 grazie alle idee e al lavoro di Shigefumi Mori e altri alla fine del XX sec. e per varietà lisce di tipo generale nel XII secolo. Si osservi che i modelli minimi non sono necessariamente unici, ma si ipotizza che dati due modelli minimi birazionalmente equivalenti uno si ottenga dall’altro tramite particolari trasformazioni birazionali chiamate flop. Tale ipotesi è dimostrata in dimensione inferiore o uguale a 3.