autoregressivo, modello

autoregressivo, modello

Modello statistico per le serie storiche, che mette in relazione il valore presente di una variabile con i suoi valori ritardati per tenere conto della possibile dipendenza statistica tra osservazioni corrispondenti a istanti diversi.

Si dice che una serie storica segue un modello a. di ordine 1, o AR(1), se soddisfa la relazione Y_t=a₀+ a₁ Y_t−1+u_t, dove gli errori u_t descrivono un rumore bianco (white noise), cioè una successione di variabili casuali incorrelate, con media zero e varianza finita costante, mentre a₀ e a₁ sono due coefficienti di regressione.

Processo autoregressivo stazionario

Un processo autoregressivo AR(1) si definisce stazionario se può essere rappresentato come combinazione lineare dell’errore corrente e degli errori passati, cioè se esistono coefficienti b, c₀, c₁, c₂, ... per cui

Y

_t= b+c₀u_t+c₁u_t−1+c₂ u_t−2+ ... .

Condizione necessaria e sufficiente affinché tali coefficienti esistano è che il coefficiente a₁ sia minore di 1, in valore assoluto. In tal caso, per la stazionarietà, Y_t ha media e varianza costanti e uguali a E (Y_t)=a₀/(1−a₁) e Var (Y_t)=σ²_u/(1−a₁²), mentre l’autocorrelazione, ossia la correlazione Y tra la variabile in tempi diversi, è Corr (Y_t, Y_s)=a₁^∣t−s∣. Di conseguenza, se il coefficiente a₁ è positivo, nel caso di un processo AR(1) stazionario, la correlazione diminuisce all’aumentare dell’intervallo di tempo tra le due variabili Y_t, Y_s. Se invece a₁ è negativo, la correlazione si riduce in valore assoluto, ma ha segni alterni. Se a₁=1, il processo ha varianza infinita e non è stazionario.

Modello autoregressivo di ordine p

Il modello AR(1) utilizza Y_t−1 per prevedere Y_t, ma ignora in tal modo l’informazione potenzialmente utile proveniente da un passato più remoto. Un modo per incorporare questa informazione è quello di includere ritardi addizionali nel modello AR(1), cioè utilizzare un modello a. di ordine p maggiore di 1. Si chiama quindi modello a. di ordine p, AR(p), il modello che considera la regressione di Y_t su p valori ritardati: Y_t=a₀+a₁Y_t−1+a₂Y_t−2+ ... +a_pY_t−p+u_t, dove a₀, a₁,..., a_p−1 sono i coefficienti della regressione lineare della variabile aleatoria Y rispetto ai suoi stessi valori ritardati. Il vettore dei p parametri di un modello AR(p) stazionario può essere stimato tramite lo stimatore dei minimi quadrati o il metodo dei momenti.

Modello autoregressivo misto

La teoria economica spesso suggerisce che altre variabili potrebbero aiutare a prevedere la variabile d’interesse. Queste altre variabili, o predittori, possono essere aggiunte a un’autoregressione per ottenere un modello di regressione temporale con predittori multipli. Quando altre variabili e i loro ritardi sono aggiunti a un’autoregressione, il risultato è un modello a. misto. I modelli a. misti, o ADL (Autoregressive Distributed Lag), sono a. perché tra i regressori figurano i valori ritardati della variabile dipendente, e misti perché tra i regressori compaiono anche i valori ritardati di predittori addizionali. In generale, un modello a. misto con p ritardi della variabile dipendente Y_t e q ritardi di un predittore addizionale X_t è detto modello ADL(p, q). La scelta dell’ordine p di un’autoregressione è un aspetto critico: l’utilizzo di un ordine troppo piccolo infatti può diminuire l’accuratezza delle previsioni poiché vengono trascurate informazioni valide; aggiungere ritardi, tuttavia, aumenta l’incertezza della stima. La scelta della lunghezza dei ritardi deve bilanciare i benefici dell’utilizzare informazione addizionale e il costo di stimare coefficienti addizionali. Metodi per la scelta dell’ordine p possono essere basati su test di significatività dei parametri associati alle variabili ritardate o a criteri di informazione