Lebesgue, misura di

Lebesgue, misura di

Lebesgue, misura di definizione di misura dovuta a H.-L. Lebesgue. La nozione di misura n-dimensionale (in particolare, per n = 1, 2, 3 rispettivamente, di lunghezza, area e volume) è stata nel tempo precisata ed estesa allo scopo di soddisfare proprietà importanti dal punto di vista non solo teorico, ma anche pratico (per esempio, per lo studio della convergenza delle serie di → Fourier). L’esito più significativo per l’analisi matematica è dovuto appunto a Lebesgue, che attorno al 1900 ne ha dato una definizione tale da soddisfare le necessità della nascente analisi funzionale.

Una definizione costruttiva si può ottenere nel seguente modo. Un plurintervallo n-dimensionale I (nel seguito, brevemente, intervallo) è il prodotto cartesiano di n intervalli chiusi [a_i, b_i], 1 ≤ i ≤ n. Esso generalizza il concetto di segmento, rettangolo, parallelepipedo (con i lati paralleli agli assi cartesiani).

La misura di I, indicata con m(I), è il prodotto delle lunghezze dei lati. Indicata poi con

l’unione di un numero finito di intervalli I_k, con 1 ≤ k ≤ n, aventi in comune al più punti della frontiera, la misura di T è data da

Se K è un insieme chiuso e limitato, si chiama misura di Lebesgue di K il numero

se A è un aperto limitato, la misura di Lebesgue di A è data da

Pur essendo le famiglie dei chiusi e degli aperti molto importanti, esse non sono chiuse, rispettivamente, per unioni infinite e per intersezioni infinite; non costituiscono, quindi, delle σ-algebre. È dunque necessario procedere con insiemi più generali, che contengano almeno tutti i boreliani (→ Borel insieme di). Sia E un insieme limitato qualsiasi. La sua misura interna è definita da

indicando con K insiemi chiusi; la sua misura esterna è definita da

con A insieme aperto.

Se m_i(E) = m_e(E), tale valore m(E) si chiama misura secondo Lebesgue di E e l’insieme E si dice misurabile (secondo Lebesgue). Se E è non limitato, esso viene detto misurabile se lo è l’intersezione E ∩ B_r con ogni sfera con centro nell’origine e raggio r arbitrario; la misura di Lebesgue di E è poi

potendo essere tale valore finito o +∞.

La misura secondo Lebesgue gode delle seguenti proprietà (dove tutti gli insiemi E_k si intendono misurabili):

• l’unione e l’intersezione finite o numerabili di insiemi misurabili è misurabile;

e vale il segno di uguaglianza se ∀i, j risulta

(proprietà di additività numerabile).

Nella teoria della misura di Lebesgue sono importanti gli insiemi di misura nulla. In molte circostanze, infatti, si può dimostrare che una certa proprietà risulta valida in un insieme E eccettuato un insieme di misura nulla: in tal caso si dice che la proprietà vale quasi ovunque (q.o.) in E.

L’insieme costituito da un solo punto ha misura nulla (in ogni dimensione n); perciò anche tutti gli insiemi costituiti da un numero finito o numerabile di punti hanno misura nulla; in particolare, l’insieme dei punti aventi coordinate razionali. Anche per n = 1 esistono però insiemi di misura nulla che hanno la potenza del continuo, come l’insieme ternario di Cantor (→ Cantor, polvere di). Per n = 2 hanno misura (area) nulla tutte le linee regolari, o generalmente regolari, e le linee continue in forma cartesiana; non però le linee continue in forma parametrica. Per esempio, la curva di → Peano riempie un’area positiva. Analogamente ha misura 3-dimensionale (volume) nulla ogni superficie generalmente regolare.

L’intersezione di un insieme misurabile di Rⁿ con un particolare iperpiano di dimensione k < n può non essere misurabile in dimensione k, ma lo è per quasi ogni iperpiano, nel senso della misura (n − k)-dimensionale.