Borel, misura di
Borel, misura di
Borel, misura di misura definita sulla σ-algebra di tutti gli insiemi di Borel di uno spazio topologico Ω, ossia la più piccola σ-algebra fra quelle che contengono tutti gli aperti di Ω.
Una misura numerabilmente additiva μ è una funzione definita sopra una σ-algebra F di sottoinsiemi di un certo insieme X con valori nell’intervallo [0, +∞) tale da soddisfare le seguenti proprietà:
• l’insieme vuoto ha misura nulla;
• se E1, E2, E3, ... è una successione di elementi di F mutuamente disgiunti, la misura della loro unione è uguale alla somma della serie numerica i cui termini sono le loro misure (additività numerabile). La misura μ è chiamata completa se ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile (e di conseguenza esso stesso risulta insieme di misura nulla).
Nell’algebra di Borel sui numeri reali, la misura di Borel è quella che assegna all’intervallo [a, b] la misura b − a (dove a < b). Tale misura risulta essere non completa, mentre lo è quella di Lebesgue. Ogni insieme boreliano misurabile è anche misurabile secondo Lebesgue e, in tale caso, le due misure coincidono.