metrica riemanniana

metrica riemanniana

Un tensore g di rango 2 definito su una varietà differenziabile n-dimensionale che sia covariante, ­simmetrico e definito positivo. In ogni spazio tangente T_πM^ν nel punto p∈M^ν il tensore g determina un prodotto scalare 〈∙,∙> definito dalla formula 〈X,Y>=g(X,Y) per X,Y∈T_πM^ν. Viceversa se per ogni p∈M^ν è definito un prodotto scalare sullo spazio vettoriale T_πM^ν che dipende in maniera differenziabile dal punto p stesso, ciò definisce un campo tensoriale g con le proprietà precedenti. In coordinate locali x_ι (i=1,…,n), definite in un intorno U di M^ν, che definiscono su T_πM^ν (per p∈M^ν) la base locale ∂_ι (i=1,…,n), le componenti di g prendono la forma g_ιξ=〈∂_ι,∂_ξ> così che

dove

Se il prodotto scalare 〈∙,∙> non è definito positivo ma semplicemente non degenere (ovvero 〈X,Y>=0 per ogni Y∈T_πM^ν implica X=0), oltre che covariante e simmetrico, la metrica è detta semiriemanniana. L’esistenza di una metrica riemanniana su una varietà M^ν permette di definire una lunghezza l di una curva regolare c:[0,1]→M^ν

dove c∙ indica il vettore tangente alla curva c(t). La lunghezza di una curva regolare a tratti è definita come somma delle lunghezze delle sue parti regolari. Se x^ι= x^ι(t) (con i=1,…,n) è l’equazione di c(t) in coordinate locali, allora

In analogia con la formula precedente, spesso la metrica su M^ν è scritta nella forma

dove ds è detto elemento di lunghezza e le funzioni g_ιξ(x) sono le componenti del tensore g nelle coordinate locali scelte. La distanza ϱ(p,q) tra due punti p,q∈M^ν è definita come la più piccola delle lunghezze delle curve regolari a tratti con estremi p,q. Con questa distanza la varietà M^ν diviene uno spazio metrico. Due varietà riemanniane M^ν₁ e M^ν₂ si dicono isometriche se esiste un mappa ϕ:M^ν₁→M^ν₂ tale che

Una curva che minimizzi il funzionale l è detta geodetica e ogni curva di lunghezza minima tra due punti p,q∈M^ν è tale. Viceversa, solo gedetiche di lunghezza sufficientemente piccola sono curve di lunghezza minima.

→ Geometria differenziale; Variazioni, calcolo delle