Gram-Schmidt, metodo di ortogonalizzazione di
Gram-Schmidt, metodo di ortogonalizzazione di
Gram-Schmidt, metodo di ortogonalizzazione di metodo che consente di costruire una successione di vettori {vn} ortogonali a partire da una successione di vettori {xn} non nulli in uno spazio prehilbertiano X (reale o complesso). Si indichino con (x, y) il prodotto scalare dei due vettori x e y, con ||x|| la norma del vettore x. Si ponga v1 = x1, quindi si determini λ21 in modo che v2 = x2 − λ21v1 sia ortogonale a v1: dal prodotto scalare (x2 − λ21v1, v1) = 0 si ottiene λ21 = (x2, v1)/(v1, v1). Ciò corrisponde a sottrarre da x2 la sua proiezione lungo l’asse individuato da v1. Si pone poi analogamente v3 = x3 − λ31v1 − λ32v2: imponendo l’ortogonalità con v1 e v2 si ottengono i coefficienti λ3k = (x3, vk)/(vk, vk), k = 1, 2.
In generale, costruiti {v1, v2, …, vi−1} si otterrà
con λik = (xi, vk)/(vk, vk). Se gli {xn} non fossero linearmente indipendenti, si otterrebbero dei vettori vi = 0, che sono da scartare. Infine, se si vuole che i vettori siano anche versori basta porre la condizione un = vn /||vn|| (ortonormalizzazione). Questa condizione, naturale dal punto di vista teorico, non viene tuttavia adottata in molti casi pratici perché sovente introduce coefficienti irrazionali.
Se X ha dimensione finita n, il procedimento termina dopo avere determinato l’n-esimo vettore vn ≠ 0; naturalmente il procedimento ha un termine anche se la successione iniziale è una sequenza finita. In tutti i casi, le successioni {xn} e {vn} generano lo stesso sottospazio di X: se tale sottospazio coincide con X, le successioni sono dette complete e formano due basi di X.