MEDIA

MEDIA

. In moltissime questioni teoriche e pratiche si presenta l'opportunità o la necessità di sintetizzare più valori in un valore solo - media - che a essi più o meno si approssimi, secondo criterî che possono mutare da caso a caso. In un significato molto largo, si può intendere (Cauchy) per media di più numeri reali a₁, a₂, . . . ., a_n qualsiasi numero fra il minimo e il massimo dei dati. Questo concetto si precisa in più modi, ciascuno dei quali dà origine a una particolare specie di media. Dal punto di vista della loro determinazione le medie si dividono in due categorie, secondo che il loro valore dipenda o non da tutti i valori dati.

1. Principali medie della prima categoria. - a) Media aritmetica (M), la media per antonomasia è costituita da

e presenta queste proprietà: non cambia sostituendo a ciascuno dei numeri di un gruppo qualsiasi, estratto dalla totalità degli a₁, a₂, . . ., a_n, la media aritmetica del gruppo stesso; la media aritmetica dei numeri ha₁ + k, ha₂ + k, . . ., ha_n + k è hM + k; la somma algebrica delle differenze fra ciascuno dei numeri dati e la loro media aritmetica M (scostamenti algebrici dalla media) è nulla, cioè (a₁ − M) + (a₂ − M) + . . . + (a_n − M) = 0; la somma dei quadrati degli scostamenti dei numeri dati da un numero variabile x risulta minima quando x sia uguale alla media aritmetica dei dati numeri, cioè (a₁ − M)² + (a₂ − M)² + . . . + (a_n − M)² 〈 (a₁ − x)² + (a₂ - x)² + . . . + (a_n − x)² se x ≷ M. Perciò la media aritmetica soddisfa a quella condizione di simultaneo accostamento a più numeri dati che è a base del metodo dei minimi quadrati (v. errori, teoria degli).

b) Media geometrica (G), degli n numeri dati, supposti positivi, è la radice n^ma (positiva) del loro prodotto, cioè:

e per essa sussistono le proprietà: non cambia sostituendo a ciascuno dei numeri di un gruppo parziale, scelto nella totalità dei numeri a₁, a₂,, . . ., a_n, la media geometrica del gruppo stesso; la media geometrica dei numeri ka₁, ka₂ . . ., ka_n (k > 0) è kG; la media geometrica degl'inversi di più numeri è l'inverso della media geometrica dei numeri; il logaritmo della media geometrica di più numeri è la media aritmetica dei logaritmi dei singoli numeri. Di qui un semplice mezzo di calcolo della G di più numeri. La G di due numeri a e b, che si dice anche loro media proporzionale, perchè a : G = G : b, si può geometricamente ottenere come lunghezza del lato del quadrato equivalente al rettangolo i cui lati abbiano le lunghezze a e b: basta, a tale fine, costruire la semicirconferenza di diametro a + b: la semicorda perpendicolare al diametro nel punto di separazione di a e b, rappresenta la media geometrica.

c) Media armonica (A) è l'inverso della media aritmetica degli inversi dei numeri dati, cioè

così per 3 numeri a, b, c si ha:

Se due variabili x, y sono inversamente proporzionali, cioè xy = k, alla media aritmetica di più valori qualunque dell'una x₁, x₂, . . ., corrisponde la media armonica dei valori y₁, y₂, . . ., dell'altra.

d) Media di potenze di esponente m (P_m), con m intero è la radice m^ma positiva della media aritmetica delle potenze m^me dei numeri dati, cioè

Essa si riduce alla media aritmetica per m = 1, alla media armonica per m = − 1; per m = 2 e m = 3 si dice rispettivamente media quadratica e cubica. Inoltre la P_m, considerata come funzione di m (reale) - nel qual caso le a₁ debbono essere tutte > 0 - cresce al crescere di m e tende al minimo, oppure al massimo dei numeri a₁, a₂, . . ., a_n, secondo che m tenda all'infinito negativo oppure positivo, e tende alla media geometrica per m tendente a zero (Dunkel).

Dall'accennata crescenza di P_m al crescere di m segue che la media quadratica, l'aritmetica, la geometrica, l'armonica si seguono in ordine decrescente.

e) Media tra somme di potenze di esponenti m e m−1 (S_m), con m intero, è:

che si riduce alla media aritmetica per m = 1, alla media armonica per m = 0 e alla media cosiddetta antiarmonica per m = 2. Considerata come funzione di m (nel qual caso le a₁ debbono essere > 0) al tendere di m all'infinito positivo (oppure all'infinito negativo) la S_m tende al massimo o rispettivamente al minimo dei valori a₂, a₂, . . ., a_n.

Tutte le medie fin qui esaminate si possono considerare come casi particolari di altrettante medie che si dicono ponderate, in quanto ognuno dei termini che entra nel calcolo della media viene affetto da un peso. Così in corrispondenza a uno dei tipi più comprensivi di medie, quella di potenze, si ha il tipo ancora più generale (media di potenze ponderata):

dove i pesi p_i sono numeri positivi qualunque. Se

si ricade sulla media di potenze semplice. In particolare:

costituiscono le medie aritmetica, geometrica, armonica ponderate. Se i numeri p₁, p₂, . . ., p_n sono interi positivi, quelle che si sono definite come medie ponderate non sono altro che medie semplici di p₁+ p₂+ . . . + p_n numeri, dei quali p₁ uguali ad a₁, p₂ uguali ad a₂, . . ., p_n uguali ad a_n; se non sono interi le medie ponderate costituiscono un'effettiva estensione concettuale delle rispettive medie semplici. Nel significato più elementare i pesi p₁, p₂, . . ., p_n sono proporzionali alle frequenze con cui si presentano gli a₁, a₂, . . ., a_n; nell'altro possono essere veri coefficienti d'importanza da attribuire ai diversi numeri di cui si vuole la media.

Si noti che la media aritmetica ponderata significa meccanicamente l'ascissa del centro di gravità dei punti di una retta aventi le ascisse a₁, a₂, . . ., a_n e i rispettivi pesi p₁, p₂, . . ., p_n.

Si noti altresì che facendo ricorso ai concetti del calcolo infinitesimale, alcuni dei valori medî considerati si possono definire anche in riferimento a un insieme continuo di valori. P. es., la media P_m dei valori reali (compresi fra a e b) con b > a > 0, è:

ossia

mentre per m = 0 si assume convenzionalmente, per conservare la continuità (L. Galvani),

f) Medie limiti. Queste medie costituiscono, rispetto alle precedenti, una categoria a parte. Di due numeri reali a₁ e b₁ si calcolino la media aritmetica e la media geometrica a₂ e b₂; di questi la media aritmetica e la geometrica a₃ e b₃; e così all'infinito: le successioni a₁, a₂, a₃, . . . e b₁, b₂, b₃, . . . sono convergenti verso un limite comune che si dice media aritmetico-geometrica di a₁ e b₁. Analogamente si definiscono la media armonico-geometrica e la media aritmetico-armonica. Fra queste medie sussistono le seguenti relazioni: la media aritmetico-armonica di due numeri coincide con la loro media geometrica; e questa è altresì media geometrica tra la media aritmetico-geometrica e la media armonico-geometrica (L. Tonelli).

2. Principali medie della seconda categoria. - a) Mediana (μ) di n numeri reali a₁, a₂, . . ., a_n ha una diversa definizione secondo che n sia dispari o pari: disposti gli n valori dati in ordine non decrescente, se n è dispari, mediana è il valore che occupa il posto di mezzo; mentre se n è pari, mediana è qualunque valore compreso tra i due che occupano i posti di mezzo, e allora di solito si conviene di assumere come mediana la semisomma di questi due. Le differenze tra i valori dati e la (o una) mediana sono evidentemente metà positive e metà negative. Inoltre la somma degli scostamenti in valore assoluto dei numeri dati da un numero variabile x diviene minima se come valore di x si assume la (o una) mediana (Laplace).

b) Moda o norma di più valori dati a₁, a₂, . . ., a_n, che si presentino rispettivamente f₁, f₂, . . ., f_n volte, è quello fra tali valori che si presenta il masimo numero di volte.

c) Nelle stesse ipotesi, valore poziore fra i numeri a₁, a₂, . . ., a_n è quello che moltiplicato per il rispettivo numero di volte (frequenza assoluta) dà luogo al prodotto massimo.

3. In riferimento alle medie fin qui definite, e particolarmente a quelle della prima categoria, si può osservare che una media viene grossolanamente concepita come un valore unico che si può sostituire a ciascuno di più valori distinti, al fine di produrre il medesimo effetto di questi. Ora è stato giustamente rilevato che le definizioni delle varie medie non precisano questo vago concetto, secondo le sue possibili specificazioni, ma si limitano a descrivere formalmente i modi di calcolare le medie stesse. Un effettivo avviamento alla precisazione dell'accennato concetto è costituito da questa definizione generale di media (O. Chisini): data una funzione f (x₁, x₂, . . ., x_n), dicesi media dei valori x₁, x₂, . . ., x_n, rispetto alla data funzione f, quel numero m che sostituito a ciascuno degli x₁ dà per la f lo stesso valore che darebbero le x₁, x₂, . . ., x_n; cioè f (m, m, . . ., m) = f (x₁, x₂, . . ., x_n).

Tante saranno le precisazioni della funzione f, altrettante saranno le medie definibili per l'insieme dei valori dati. In particolare, per f = x₁ + x₂ + . . . + x_n, per f = x₁ x₂ . . . x_n, ecc., si avranno la media aritmetica, la geometrica, ecc.

Molte medie vengono largamente impiegate nella statistica, al quale proposito si deve notare che alcune delle esposte definizioni di media non valgono soltanto per serie statistiche dipendenti da un carattere quantitativo, ma si possono anche estendere a serie dipendenti da caratteri qualitativi, o anche da coppie di caratteri quantitativi o qualitativi, o promiscui (C. Gini e L. Galvani).

Bibl.: P.-S. Laplace, Øuvres complètes, Parigi 1878-1912; A.-L. Cauchy, Cours d'analyse, Parigi 1821; O. Schlömilch, Über Mittelgrössen verschiedener Ordnung, in Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1858; A. Messedaglia, Il calcolo dei valori medi, in Archivio di statistica, 1880; O. Dunkel, Generalized geoemtric means, ecc., in Annals of Mathematics, 1909-1910; L. Tonelli, Sull'iterazione, in Giornale di Matematiche, XLVIII (1910); U. Ricci, Confronti fra medie, in Giornale degli economisti, 1915; G. Mortara, Lezioni di statistica metodologica, Roma 1922; L. Galvani, Dei limiti a cui tendono alcune medie, in Bollettino della Unione matematica italiana, 1927; C. Gini e L. Galvani, Di talune estensioni dei concetti di media ai caratteri qualitativi, in Metron, 1929; O. Chisini, Sul concetto di media, in Periodico di matem., 1929.