LOGARITMO

LOGARITMO

Definizione. - 1. È questo il nome, che il barone scozzese John Napier, latinizzato in Nepero (v.), diede ai numeri da lui per primo definiti e calcolati in un'ampia tavola. Il nome fu da lui stesso tolto dal greco: λόγον ἀριϑμός "il numero della ragione o rapporto" e il perché si vedrà fra un momento. Oggi, prefissato un numero a, positivo e diverso da 1, si definisce il logaritmo di un qualsiasi numero positivo x in base a come quel numero (positivo o negativo) y tale che risulti a^y = x; e questo logaritmo si denota con log_a x o ^alog x, talché si ha per definizione:

Per comprendere l'origine del nome bisogna ricordare che, secondo Euclide, se il numero a si considera come ragione o rapporto di due grandezze, i numeri a², a³,... si dicono ragione duplicata, triplicata,... di a. Così, se una qualsiasi potenza a^y di a si interpreta come ragione, y dà il numero di questa ragione rispetto alla ragione a.

2. Proprietà fondamentali dei logaritmi. - Queste proprietà sono espresse dalle seguenti identità, dove a, b, x, y denotano numeri positivi (di cui i primi due si suppongono diversi da 1), mentre m è un numero qualsiasi (positivo o negativo):

Dalla quarta e quinta di queste identità discende anche la seguente:

e dalla penultima, per m = p/q, dove p e q siano due interi (con q > 0),

Nella pratica si usano esclusivamente i logaritmi in base 10 o decimali o del Briggs, mentre negli sviluppì teorici torna più conveniente ricorrere ai cosiddetti logaritmi naturali o iperbolici o neperiani, di cui si dirà più avanti (n. 10). Sono questi i due soli tipi o sistemi di logaritmi, che effettivamente si adoperano; e del resto l'ultima delle identità (2) mostra che quando si passa da un sistema di logaritmi a un altro, i logaritmi variano tutti in un medesimo rapporto: precisamente, il logaritmo in base b di un qualsiasi numero si ottiene da quello in un'altra base a, moltiplicandolo per il numero fisso log_b a, che si chiama il modulo per il passaggio dal sistema di logaritmi in base a a quello in base b.

3. Le proprietà (2) discendono immediatamente - oltre che dalla definizione (1) e dalla convenzione di attribuire il valore i alla potenza a⁰ di esponente zero - dalle seguenti due proprietà delle potenze di una base positiva:

Nel caso degli esponenti naturali (o interi positivi) la prima di queste proprietà era già nota ai Greci. Archimede l'enuncia esplicitamente nel suo Arenario (ed. Heiberg, Lipsia 1913, II, p. 240) ed entrambe si trovano già in Euclide (Elementi, IX, prop. 9, 11: ed. Enriques, Bologna 1930, pp. 313, 320). Ma Euclide non ne rileva l'importanza, mentre Archimede, segnalando l'utilità della proprietà citata, l'adopera per determinare l'ordine di grandezza di numeri molto grandi e per operare su di essi. Queste stesse proprietà che si adoperano continuamente nelle operazioni aritmetiche con numeri interi sono anche accennate nell'Aritmetica di Boezio (ed. Fridlein, Lipsia 1867, p. 113), e sono più chiaramente enunciate dagli algebristì del Medioevo e del Rinascimento (per es., da N. Chuquet nel 1484, da M. Stifel nel 1544, ecc.).

Quando si passa alle potenze a esponente non più intero, ma qualsiasi, come occorre per stabilire le (2) in tutta la loro generalità, la dimostrazione delle (3) non è facile, in quanto essa dipende dalla definizione non semplice di potenza di numero positivo a esponente irrazionale. Ma Nepero suggerì una via elementare di definire i logaritmi decimali, la quale permette di giustificare agevolmente le più comuni applicazioni pratiche. Egli osservò che le prime n cifre decimali del logaritmo decimale di un numero intero positivo x sono le stesse di quelle del numero delle cifre di x¹⁰ⁿ (o di codesto numero di cifre diminuito di 1). Così, ad es., il numero 3¹⁰⁰⁰⁰⁰ ha 47.713 cifre e si ha log₁₀ 3 = 0,47712...

In base a quest'osservazione la proprietà fondamentale

diventa una nuova forma del teorema elementare, che dice che il prodotto di due numeri interi (scritti in base 10) ha un numero di cifre uguale alla somma dei numeri delle cifre dei due fattori o a questa somma diminuita di 1.

4. Utilità dell'uso dei logaritmi. - Le proprietà (2) fanno comprendere quale sia l'utilità, che per i calcoli numerici si può trarre da una tavola di logaritmi. Una tavola di logaritmi in data base a è costituita, nella sua forma schematica (che nella pratica, come verrà poi accennato, si modifica opportunamente per ragioni di comodità), da due colonne di numeri: nella prima sono segnati, in ordine crescente, i numeri positivi che, entro un certo intervallo, si susseguono a una data differenza costante; nella seconda colonna, di fronte a ciascun numero della prima, è registrato, con una data approssimazione, il rispettivo logaritmo in base a. Se allora si vuol trovare (per approssimazione) il prodotto xy di due numeri x, y, entrambi compresi nella tavola, basta ricordare l'identità

In base ad essa, si comincia col cercare, sulla tavola, log_a x e log_a y (che si troveranno nella seconda colonna, di fronte ai numeri x, y della prima); poi si sommano questi logaritmi, e infine si cerca sulla tavola quale sia il numero, che ha come logaritmo la somma ottenuta. Si ha così il vantaggio di sostituire, grazie alla tavola ogni moltiplicazione con un'addizione.

E analogamente, tenendo conto delle identità

si riconosce che ad ogni divisione si perviene con una sottrazione, ad ogni elevamento a potenza con una moltiplicazione per l'esponente, ad ogni estrazione di radice con una divisione per l'indice.

5. Logaritmi decimali. Caratteristica. - I vantaggi dianzi accennati risulterebbero illusorî, se non fosse possibile congegnare le tavole in modo che sia possibile - entro limiti di approssimazione ben determinati - trovare rapidamente il logaritmo di un qualsiasi numero (positivo) e, viceversa, il numero che ammette un dato logaritmo. Per chiarire come si possa raggiungere questo scopo, converrà prendere in considerazione i logaritmi decimali, che, come già si è detto, sono i soli che si usano nella pratica. Per semplicità di scrittura si denoteranno (secondo la convenzione adottata nell'Enciclopedia italiana) col simbolo Log (cioè, tralasciando l'indicazione della base 10 e usando l'iniziale maiuscola).

Sono necessarie alcune osservazioni preliminari. Si ha anzitutto (n. 2)

Si osservi poi che, come la potenza 10^x cresce al crescere del rispettivo esponente x (Logaritmo di 10^x), così, viceversa, al crescere del numero cresce anche il rispettivo logaritmo. Perciò il Logaritmo di ogni numero maggiore di 1 (il cui Logaritmo è 0) sarà positivo, mentre il Logaritmo di ogni numero (positivo) minore di 1 sarà negativo.

Inoltre, siccome la base 10 dei Logaritmi coincide con quella del sistema decimale, si trova immediatamente il Logaritmo di ogni unità decimale, tanto maggiore quanto minore di 1. Per le unità decimali maggiori di 1, oltre il 10, di cui già si è notato che il Logaritmo è 1, si ha

mentre per le unità decimali minori di 1 si ha

Si riconosce così che il Logaritmo di ogni unità decimale maggiore di i è dato dal numero (intero) degli zeri dell'unità considerata, e il Logaritmo di ogni unità decimale minore di 1 è dato dall'intero negativo, che ha tante unità quanti sono gli zeri dell'unità considerata (compreso quello a sinistra della virgola).

Dopo ciò, comunque si prefissi un numero positivo, si può assegnare subito il massimo intero, positivo o negativo, che non supera il Logaritmo del numero prefissato e che si chiama la caratteristica di questo Logaritmo. Invero, se si prende un qualsiasi numero maggiore di 1, per es. 395,48, dalle disuguaglianze

si deduce

sicché la caratteristica di Log 395,48 è 2 (numero delle cifre della parte intera di 395,48 diminuito dì1). E similmente, se si prefissa un numero minore di1, per es. 0,0476, dalle disuguaglianze

si deducono le

e la caratteristica di Log o.0476 è − 2 (intero negativo, che ha tante unità, quanti sono gli zeri, che, compreso quello prima della virgola, precedono in 0,0476 la prima cifra significativa).

Così in ogni altro caso; e si è condotti alla seguente Regola delle caratteristiche: La caratteristica del Logaritmo (positivo) di un numero maggiore di 1 è l'intero (positivo o nullo), che si ottiene diminuendo di i il numero delle cifre della parte intera del numero considerato. La caratteristica del Logaritmo (negativo) di un numero minore di 1 è l'intero negativo, che ha tante unità, quanti sono gli zeri, che (compreso quello a sinistra della virgola) precedono la prima cifra significativa.

6. Mantisse. - Restano da considerare le parti decimali dei Logaritmi. Qualunque sia il numero positivo x, il rispettivo Logaritmo, ove se ne indichi con c la caratteristica, che è sempre un numero intero (positivo o nullo se x > 1, negativo se x 〈 1), si può scrivere

dove m (eccesso del Logaritmo sulla sua caratteristica) è sempre un numero positivo minore di 1, cosicché, scritto in forma decimale, ha nulla la parte intera. Poiché la caratteristica di un Logaritmo, in base alla regola or ora data, si può in ogni caso assegnare immediatamente, nelle tavole, in corrispondenza di ogni numero, si trovano registrate soltanto le prime cifre della parte decimale m, fino a un determinato posto, che è lo stesso per tutti i logaritmi di una medesima tavola. Siccome con una sola cifra o con due si sarebbe condotti a un'approssimazione troppo grossolana, le tavole che si usano sono a 3 o più decimali. Il gruppo delle prime 3 o 4 o 5... cifre decimali di ciascun logaritmo, che si trova così registrato in una tavola, si chiama mantissa, voce latina, d'origine etrusca, che significa "supplemento". Di solito l'ultima cifra di ogni singola mantissa è, nella tavola, "arrotondata", cioè aumentata di 1, se la prima cifra, che si trascura, è maggiore di 4, talché ogni tavola dà i Logaritmi con un errore (per difetto o per eccesso) minore di mezza unità dell'ultimo ordine, di cui la tavola tiene conto; e in molte tav0le si contraddistingue con un segno speciale (un asterisco, una lineetta, un punto) l'ultima cifra di una mantissa, quando essa è arrotondata, cioè quando il valore del logaritmo è dato per eccesso.

Ora è fondamentale l'osservazione seguente. La mantissa del Logaritmo di un qualsiasi numero dipende soltanto dalle cifre che lo costituiscono (e, beninteso, dal loro ordine), ma non dal posto che vi occupa la virgola: in altre parole la mantissa del Logaritmo di un numero non varia, quando in questo numero si sposta, comunque, la virgola. Invero, quando in un numero si sposta la virgola, verso destra o verso sinistra, di 1 o 2 o 3... posti, non si fa altro che moltiplicare o, rispettivamente, dividere il numero per 10 o per 100 o per 1000...; e poiché

ben manifesto che, in ogni caso, varia bensì la caratteristica, ma non la mantissa.

7. Tavole di Logaritmi e loro uso. - Dopo ciò è facile comprendere la disposizione di una tavola di Logaritmi e il modo di usarla. Per fissare l'attenzione sul caso più semplice possibile, si consideri la seguente

Questa tavola contiene le mantisse (cioè, in questo caso, le prime tre cifre decimali) dei Logaritmi dei numeri da 10 a 99. La prima cifra di ciascuno di questi numeri si legge nella prima colonna, la seconda in testa alle colonne successive (l'una e l'altra in neretto). Così la mantissa di Log 76 si trova all'incrocio della riga 7 e della colonna 6, cioè vale (per eccesso) 881; e poiché la caratteristica di Log 76, in quanto 76 ha due cifre, è data da 1, si ha

dove, al solito, il segno ~ denota un'uguaglianza approssimata.

Ora il calcolo del Logaritmo di un qualsiasi altro numero si può sempre far dipendere da quello del Logaritmo di uno di codesti interi da 10 a 99; ma conviene distinguere due casi, secondo che il numero considerato è compreso o no fra 10 e 100.

Logaritmi dei numeri compresi tra 10 e 100. - Si voglia, ad es., il Log 64,763. Al numero proposto si sostituisce il suo valore approssimato (con 3 cifre significative) 64,8, in cui la cifra decimale si è arrotondata, perché la successiva, che si è trascurata, superava 4. Poiché 64,8 è compreso tra 64 e 65 si ha

cioè, in base alla tavola,

Ma bisogna determinare il numero δ di unità decimali del terzo ordine, che bisogna aggiungere a 1,806, cioè al Log 64, per avere il Log 64,8. A questo scopo, procedendo per approssimazione, si ammette (Regola delle parti proporzionali) che, per ciascuno dei tratti compresi fra numeri consecutivi della tavola (in questo caso fra 64 e 65), l'aumento del Logaritmo sia sempre proporzionale a quello del numero; e, ricorrendo al teorema del valore medio (v. differenziale, calcolo, XII, p. 794) si può dimostrare ehe l'errore, che così si commette, è sempre minore di un'unità decimale dell'ordine dell'ultima cifra delle mantisse (in questo caso di 1/1000). Si è così condotti a porre che δ (aumento di unità decimali del terzo ordine da Log 64 a Log 64,8) sta alla cosiddetta differenza tavolare 813-806 (aumento di unità del terz'ordine da Log 64 a Log 65) come 8 (aumento di unità decimali del primo ordine da 64 a 64,8) sta a 10 (aumento di unità del primo ordine da 64 a 65). Deve dunque essere

e quindi

In pratica l'operazione si può disporre nel seguente modo:

Logaritmi dei numeri non compresi fra 10 e 100. - Si voglia, anzitutto il Logaritmo di un numero, che non solo renda soddisfatta la condizione or ora detta, ma sia maggiore di 1, per es. 374,2. Si sostituisce al solito il numero proposto col suo valore approssimato con tre sole cifre significative, cioè 374. La caratteristica di Log 374 è 2, mentre la mantissa è quella stessa di 37,4. Quindi:

Se, infine, il numero proposto è minore di 1 (ma, beninteso, sempre positivo), come ad es. o,04835, si conservano, come negli altri casi, soltanto tre cifre significative, cioè si considera il numero 0,0484 (con arrotondamento della terza cifra, perché la quarta superava 4). La caratteristica di Log o,0484 è − 2, mentre la mantissa è quella stessa di Log 48,4. Quindi:

Ma importa avvertire che nella pratica dei calcoli logaritmici non si eseguisce quest'ultima addizione algebrica della caratteristica negativa e della mantissa positiva. In ogni caso il Logaritmo (negativo) di un numero minore di 1 si conserva sotto la forma di somma algebrica della sua caratteristica negativa e della mantissa positiva, scrivendo, ad esempio,

dove il segno − non si premette, ma si sovrappone alla caratteristica per ricordare che esso riguarda soltanto la caratteristica, mentre la mantissa va presa positivamente. Questa scrittura convenzionale torna assai comoda nei calcoli logaritmici e, in particolare, come si vedrà fra un momento, nella determinazione del numero che ha un dato logaritmo negativo.

8. Calcolo logaritmico inverso. - Per i calcoli logaritmici è necessario saper risolvere anche il problema inverso di quello trattato dianzi, cioè calcolare il numero che ha un dato Logaritmo. Vi sono a tale scopo tavole di Antilogaritmi, costruite in modo analogo a quelle di Logaritmi. Ma il medesimo problema si può anche risolvere, usando una tavola di Logaritmi, per es. quella a tre decimali registrata più sopra. Si voglia, ad es., un numero x tale che sia Log x ~ 1,9415. Anzitutto si accorcia il Logaritmo a tre cifre decimali, cioè si considera 1,942. La caratteristica 1 avverte che x ha una parte intera di due cifre. Quanto alla mantissa 942, essa non figura fra quelle registrate nella tavola (ché, se così accadesse, si rileverebbero subito dalla tavola le due cifre della parte intera di x), ma vi si trovano le due mantisse consecutive 940 e 944, fra cui quella data è compresa; e si riconosce così che

Per trovare il numero d di unità decimali del primo ordine, che vanno aggiunte a 87 (il cui Logaritmo è 1,940) per avere il valore di x (con una cifra decimale) si applica la regola delle parti proporzionali, ponendo che d deve stare a 10 (differenza di unità decimali del primo ordine fra 87 e 88) come 2 (differenza fra le due mantisse 940 e 942) sta a 4 (differenza tavolare, relativa alle due mantisse 940 e 944). Si trova così d = 5 e quindi x ~ 87,5. Praticamente l'operazione si può disporre nel modo seguente:

Se poi il Logaritmo, di cui si vuole il numero, è negativo, per es. − 2,3468, esso in primo luogo si accorcia a tre cifre decimali, cioè si sostituisce con − 2,347; e poi si riduce alla forma logaritmica convenzionale, eioè si scrive

Dal valore − 3 si rileva che il numero voluto ha, davanti alla prima cifra significativa, tre zeri (compreso quello a sinistra della virgola); e, in quanto la mantissa è 653, si trova, ricorrendo alla tavola, x ~ 0,0045.

9. Cenno storico. - Il calcolo delle tavole dei Logaritmi in base 10 e a 10 decimali, cominciato da H. Briggs (Logarithmorum Chilias prima, Londra 1617), fu terminato da Adrian Vlacq, olandese, nella sua Arithmetica logaritmica (Gouda 1628). Mentre dapprincipio si cominciò con tavole a molti decimali, si trovarono poi più utili, in molti casi, tavole minori, a 7 decimali, e più ancora a 5 o a 4. Quella a 3 decimali, riprodotta sopra, è in uso, con lievi modificazioni, negli uffici postali italiani. I chimici adoprano spesso tavole a 4 decimali; gli astronomi e i naviganti a 5 e talvolta a 6 decimali. Nei calcoli di matematica finanziaria e attuariale occorrono talvolta anche tavole a 10 decimali.

10. Logaritmi naturali o neperiani o iperbolici. - Si ritiene ordinariamente che Nepero sia stato condotto alla sua grande scoperta dalle proprietà (3) delle potenze di un numero positivo, che, come si è detto, già al suo tempo erano ben note nel caso degli esponenti interi. Più verosimile è la supposizione che egli si sia ispirato alle tavole d'interesse composto, in uso presso i mercanti, come ad es., quella di Balducci-Pegolotti nel Libro di divisamenti di paesi e di misure di mercanzie (ms. 2441 della Bibl. Riccardiana di Firenze, anteriore al 1350), in cui si ha una tavola delle somme prodotte a interesse composto per una serie di venti anni, ai saggi dall'i all'8 per cento, calcolata di mezzo in mezzo per cento.

L'uso di tavole per rendere più rapidi i calcoli era già noto agli antichi. La tavola delle corde degli archi di circolo, di mezzo in mezzo grado, contenuta nell'Almagesto di Tolomeo e le numerose tavole trigonometriche (monumentale il Canone trigonometrico di F. Vieta, Parigi 1579), permettevano, con un po' di difficoltà, di sostituire nei calcoli addizioni e sottrazioni alle più incomode moltiplicazioni. Basta pensare all'uso di una tavola di coseni, adoperando la formula:

Diventato familiare l'uso delle tavole, si osservó, assai prima della scoperta di Nepero, che anche una semplice tavola di quadrati dei numeri interi (p. es., la Tabula tetragonica di A. Magini, Venezia 1592) permette di ottenere il prodotto di due numeri per mezzo di una somma e due sottrazioni, adoperando la relazione euclidea: 4 ab = (a + b)² − (a − b)², la quale permette di calcolare tutte le cifre esatte del prodotto. Ma questi metodi sono incomodi allorché si debbano fare molte operazioni.

Nepero dopo una profonda analisi, che precorre e preannuncia il calcolo infinitesimale, studia il moto di un punto mobile che si muove in linea retta con una velocità proporzionale allo spazio percorso (con notazione moderna, risolve l'equazione differenziale ds/dt = s). Riesce a determinare la soluzione, superando, con linguaggio geometrico rigoroso, ispirato ad Archimede, le difficoltà che si presentano allorché si voglia definìre (con notazione moderna) la soluzione s = e^t, per ogni valore di s. Ma preferisce assumere come negativo il verso del tempo cosicché è condotto alla relazione s = e^-t. Dopo ciò nella sua Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, eiusque usus in utraque Trigonometria (Edimburgo 1614), definisce il logaritmo nel modo seguente: Logarithmus ergo cuiusque sinus est numerus quam proxime definiens lineam quae aequaliter crevit, interea dum sinus totius linea proportionaliter in sinum illum decrevit, existente utroque motu synchrono atque initio aequiveloce.

Alla teoria rapida e rigorosa seguono i calcoli. Egli sostituisce al tempo continuo una successione di tempuscoli dell'ampiezza 10^-7, e calcola quindi le prime sette cifre significative delle potenze di (1 + 10^-7)¹⁰⁷, a meno di poche unità dell'ultimo ordine decimale, giungendo così alla considerazione dei logaritmi naturali.

Si chiamano logaritmi naturali, ovvero iperbolici, ovvero comunemente (e giustamente) neperiani, i numeri definiti dall'equazione differenziale sopra ricordata:

che conduce alla soluzione s = e^t. La base e, che dà t = log s, è un numero che ha una grande importanza nell'analisi. Esso si può definire come il limite di

per n tendente all'infinito. È un numero trascendente le cui prime 20 cifre decimali sono

Le prime 12 cifre decimali sono state calcolate da R. Cotes (Logometria, in Philosophical Transactions, Londra 1714, p. 11) e fino alla 346ª da M. Boorman nel 1884 (riprodotte nel Form. Mathem. di G. Peano, Torino 1908). La definizione del numero e è dovuta a Cotes, la notazione e ad Eulero.

Il logaritmo naturale del numero x si indica di solito colla notazione log x. Esso appare naturalmente nella determinazione dell'area dell'iperbole equilatera:

come sembra aver affermato per primo G. de Saint-Vincent (in Opus geometricum, Anversa 1647), e con più precisione A. de Sarasa nel 1649.

P. Mengoli nella Geometria speciosa (Bologna 1659), chiamò per primo "naturali" questi logaritmi e ne diede una teoria rigorosa, assai semplice e puramente aritmetica. Essa è fondata sulla notevole diseguaglianza seguente in cui n è un intero positivo e p un intero comunque grande:

essa permette di definire log n per mezzo delle due classi convergenti, ottenute dando a p, nel primo e terzo membro della doppia disuguaglianza precedente, tutti i valori interi e positivi.

11. Calcolo di tavole di logaritmi. - Numerosi sono i metodi di calcolo dei logaritmi. Nepero stesso ne indicò diversi. Si può procedere a una serie di successive estrazioni dí radici quadrate, applicando più volte la formula: (Log a + Log b)/2 = Log √ab. Si comincia quindi a determinare un intervallo, di cui si conoscano i logaritmi degli estremi e al quale appartenga il numero di cui si cerca il logaritmo. La media aritmetica dei due logaritmi è il logaritmo della media geometrica degli estremi. Si ha così un intervallo minore del primo che comprende il logaritmo cercato. Si ripete l'operazione finché si giunge a un intervallo così ristretto che i logaritmi degli estremi differiscano tanto poco quanto si vuole.

Si può invece procedere, altrettanto rapidamente, per mezzo di successive elevazioni a potenze del 10 come aveva insegnato lo stesso Nepero, nella sua Appendix alla Constructio del 1620, e come ha dimostrato E. Viglezio (Atti dell'Acc. delle sc. di Torino, 1923, p. 118). Con successive elevazioni a potenze si trova, p. es.,

e, continuando, si giunge alla relazione:

da cui si conclude, con cinque decimali esatte: Log 3 = o,47712.

I metodi più rapidi e potenti di calcolo sono dati dagli sviluppi in serie infinite, intravvisti in alcuni casi particolari da P. Mengoli nel 1659 e scoperti da Newton nel 1666 nello scritto, rimasto lungamente inedito, Analysis per aequationes numero terminorum infinitas, da lui comunicato a I. Barrow nel 1669 dopo la pubblicazione della Logarithmotechnia di N. Mercator, Londra 1668. In quest'ultimo opuscolo, che rese celebre l'autore, si integra termine a termine la serie:

e si trova:

serie che dà i logaritmi naturali, e vale per ∣x∣ 〈 1, e anche, come aveva già visto Mengoli, per x = 1.

Da questa serie, di convergenza lenta, si traggono subito le serie trovate da J. Gregory (in Exercitationes geometricac, Londra 1668, p. 13):

valida per qualunque valore positivo di x, e l'altra:

pure valida per x positivo. Da queste serie, con facili calcoli, si ottengono rapidamente i logaritmi naturali. Per avere i logaritmi in base 10, occorre moltiplicarli per il modulo M, che è il reciproco del logaritmo naturale di 10, o, ciò che è lo stesso, il logaritmo decimale della base e dei logaritmi naturali.

Si ha:

e quindi

J. Couch Adams ha calcolato, nel 1878, il modulo M con 272 cifre decimali (riprodotte da G. Peano, in Formulario, Torino 1908, p. 242).

12. Logaritmi di Leonelli. - Si chiamano cosÌ, o anche "logaritmi di addizione e sottrazione", numeri dati da tavole ausiliarie, che permettono di calcolare facilmente Log (a + b), quando si conoscono Log a, e Log b, per mezzo di una delle due formule:

dove si è posto m = a/b. Tavole opportunamente disposte, da Zecchini-Leonelli nel 1802, poi da C. F. Gauss nel 1812, ecc., dànno Log (1 + m), ovvero Log (m/[m − 1]).

13. Tavole di logaritmi dei logaritmi. - Occorre, nei calcoli attuariali, di dover calcolare le potenze a^b per esponenti qualunque. Se si applica la formola: Log Log a^b = Log b + Log Log a, si vede l'utilità di tavole che diano subito Log Log a. Sono state calcolate per i valori di a compresi tra 1 e 100 da F. Thoman (Parigi 1878), e più estesamente, da A. di Prampero, Saggio di Tavole dei logaritmi quadratici (Udine 1885).

14. Logaritmi dei numeri immaginarî. - Si chiamano logaritmi immaginarî del numero x reale o immaginario (diverso da zero), le infinite soluzioni immaginarie del l'equazione e^y = x, dove e è la base dei logaritmi naturali. Si chiama "valor principale del logaritmo" quello che ha il coefficiente dell'unità immaginaria compreso tra −π (escluso), e π, e si indica con log x. Allora tutti i logaritmi del numero x sono della forma log x + 2nπi, dove n è un intero qualunque, positivo, nullo o negativo. Si hanno le curiose relazioni:

log (− 1) = πi. Esse sono state viste da Giovanni Bernoulli, ma in modo confuso (cfr. la sua corrispondenza con Leibniz fin dal 1702), e con ogni rigore, ma con notazioni oggi abbandonate, da R. Cotes (Logometria, Phil. Transact., Londra 1714, tomo XXIX, p. 32). Le notazioni odierne sono di Eulero (1728).

15. Logaritmo integrale. - Si chiama così secondo J. Soldner (1809), ovvero "iperlogaritmo" (L. Mascheroni), ovvero "logologaritmo" (I. Caluso), il valore dell'integrale

che si può esprimere per mezzo di una serie semiconvergente e ha grande importanza nella teoria dei numeri primi (v. aritmetica, IV, p. 378; funzione: Funzioni notevoli, XVI, p. 195).

Bibl.: La bibliografia degli scritti concernenti i logaritmi è enorme. Sono guide utilissime le due seguenti: Report of the Committee on mathematical Tables, in Report of the British Assoc. for the Advancement of Science, Londra 1873; Napier Tercentenary Memorial volume, edito da C. G. Knott, Londra 1915. - Ecco un breve elenco delle opere più importanti: J. Neper, Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio, eiusque usus in utraque trigonometria, ecc., Edimburgo 1614, rarissimo; un esemplare è stato donato a G. Plana dall'Acc. di Edimburgo e si conserva nell'Acc. delle scienze di Torino; id., Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio, ecc. Accesserunt opera Posthuma; primo Mirifici ipsius Canonis constructio..., secundo appendix de alia, eaque prestantiore Logarithmorum specie construenda, ecc., Edimburgo 1619. - J. Kepler, dopo aver pubblicato una lettera piena d'entusiasmo a J. Nepero nel 1620 (che credeva allora ancor vivente; Kepler, Opera, VII, p. 520), si accinse a una edizione originale che pubblicò col titolo: Chilias Logarithmorum, Marburgo 1624 (riprod. in Opera, VII, Francoforte 1868, p. 319). Kepler stesso (Opera, II, p. 834) rivendica a Nepero l'onore intero della scoperta dei logaritmi, che alcuni storici tedeschi attribuiscono a un certo Jobst Bürgi (1552-1632), il quale pubblicò, col titolo: Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen, ecc., Praga 1620, delle tavole logaritmiche imperfette, a due colori rosso e nero. Il giudizio aspro di Kepler su Bürgi (Byrgius): foetum in partu destituit, non ad usus publicos educavit, toglie importanza a questo tentativo.

Per una bibliografia delle prime tavole italiane di logaritmi, si veda P. Riccardi, Biblioteca matematica, Modena 1893. La prima esposizione completa italiana della teoria dei logaritmi, con tavole originali, è quella di Bonaventura Cavalieri, Directorium generale uranometricum in quo trigonometriae logarithmicae fundamenta, ac regulae demonstrantur, ecc., Bologna 1632. - Le più importanti tavole sulle quali sono state costruite la maggior parte delle altre sono le seguenti: A. Vlacq, Arithmetica Logarithmica, Gouda 1628, la quale contiene i logaritmi dei primi 100.000 numeri con 10 decimali, e la Trigonometria artificialis, Gouda 1633, dello stesso autore, la quale dà i logaritmi delle funzioni trigonometriche di 10 in 10 secondi, con dieci decimali. Segue: H. Briggs, Trigonometria Britannica, pubblicata da H. Gellibrand, Gouda 1633, la quale contiene i logaritmi dei seni per ogni centesimo di grado sessagesimale, con quattordici decimali, ecc. G. Vega nel Thesaurus Logarithmorum Completus, Lipsia 1794, riprodusse i logaritmi calcolati da Vlacq, senza però correggere i numerosi errori nell'ultima decimale contenuti in quell'opera. L'Istituto geografico di Firenze ne ha pubblicate due edizioni fotozincografiche correggendo molti errori. G. Riche de Prony diresse dal 1794 al 1799 il calcolo delle Tables du Cadastre, contenenti i logaritmi dei numeri da 1 a 200.000 con 10 decimali. L'opera è rimasta manoscritta. Ne è stata pubblicata un'edizione ridotta a 8 decimali, Parigi 1801. E. Sang ha calcolato (dal 1848 al 1890) i logaritmi dei numeri fino a 370.000, con 15 decimali, ma l'opera, rimasta manoscritta, si conserva nella Royal Society di Edimburgo. Tra le tavole più recenti è da ricordare: C. Bruhns, Neues logarithmisch-trigonometrisches Handbuch auf sieben Dezimalen, Lipsia 1870; 5ª ediz., 1900; M. Raina, Tavole di logaritmi a 5 decimali, 2ª ed., Milano 1907; J. Bauschinger, Logarithmic Trigonometrical Tables, Lipsia 1910, che contengono, con otto decimali, i logaritmi dei numeri fino a 200.000, e delle funzioni trigonometriche per ogni secondo sessagesimale.