Le grandi congetture sui numeri primi

Le grandi congetture sui numeri primi

Le grandi congetture sui numeri primi

Quasi periodicamente, si ha notizia di qualche matematico che sostiene di avere dimostrato una delle grandi congetture che riguardano i numeri primi. Rende pubblica la sua dimostrazione e di fatto sfida i colleghi a verificare la sua correttezza. Finora, però, si è trattato o di risultati che non hanno retto il confronto con l’accurata e spietata analisi dei migliori istituti di ricerca al mondo (che hanno sempre trovato qualche pecca nelle dimostrazioni) o di risultati che hanno apportato contributi interessanti ma solo parziali. Il fascino dei numeri primi e delle loro congetture resiste, incrementato anzi dal passare del tempo e da tutti questi tentativi vani o a cui è arriso un successo solo parziale.

La congettura più famosa è sicuramente quella di Goldbach, che ha addirittura ispirato un romanzo di successo dello scrittore greco Apostolos Doxiadis, Zio Petros e la congettura di Goldbach (1992): un matematico in pensione, nell’intento di dissuadere il nipote dall’intraprendere gli studi di matematica, gli propone di risolvere un problema matematico durante le vacanze estive. Se non riuscirà a risolverlo, rinuncerà a iscriversi alla facoltà di matematica. Dopo essersi dedicato, con grande impegno ma invano, alla risoluzione del problema per tutta l’estate, il giovane desiste e sceglie la facoltà di diritto. Il problema in questione era niente meno che la congettura di Goldbach, a tutt’oggi non dimostrata. Essa afferma che ogni numero pari, maggiore di 2, può essere scritto come somma di due numeri primi. Per esempio, 4 è la somma di 2 e 2, 6 di 3 e 3, 8 di 3 e 5, 10 di 3 e 7 (ma anche di 5 e 5), 12 di 5 e 7 14 di 3 e 11 (ma anche di 7 e 7) ecc. La congettura deve il suo nome al matematico prussiano Ch. Goldbach, uno dei più importanti della prima metà del Settecento, non a caso invitato alla corte russa di San Pietroburgo, studioso di teoria delle serie e di teoria dei numeri. Nella lettera a Eulero del 7 giugno 1742, Goldbach sostenne che ogni numero intero dispari, maggiore di 5, o è primo o può essere scritto come somma di tre numeri primi. Eulero riformulò il problema nella versione sopra riportata, nota come congettura forte di Goldbach: in effetti, da questa affermazione seguirebbe quella più debole sostenuta da Goldbach in quanto, se n è dispari e gli si sottrae un primo dispari p, allora n − p è pari. Né Goldbach né Eulero corredarono le loro affermazioni con una dimostrazione; da allora i matematici di tutto il mondo, esperti di teoria dei numeri, hanno cercato la tessera mancante per chiudere il problema. Grazie a nuovi strumenti di calcolo, a raffinate teorie matematiche, a metodi statistici e probabilistici, la congettura è stata verificata fino a considerare valori molto elevati del numero pari che dovrebbe potersi scrivere come somma di due numeri primi, ma una dimostrazione generale ancora manca. Il risultato migliore (valido per ogni numero pari) di cui si dispone dimostra che la somma è costituita al massimo da sei addendi, che sono numeri primi.

Un altro problema aperto riguarda i numeri primi gemelli. Risale addirittura a Euclide. Negli Elementi, in particolare nei libri vii, viii, ix dedicati alla teoria dei numeri, Euclide definisce un numero primo come un numero che è misurato soltanto dall’unità e poi passa a dimostrare per assurdo che i numeri primi sono infiniti. Se infatti fossero in numero finito, per esempio p₁, p₂, ..., p_n, il numero 1 + p₁p₂ ... p_n porterebbe a una contraddizione: non può essere primo (perché maggiore di tutti i primi) e neanche può essere divisibile per p₁ oppure per p₂ ... oppure per p_n perché ciascuna di queste divisioni dà 1 come resto. Due numeri primi vengono detti gemelli quando differiscono di 2. Sono per esempio primi gemelli 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31. La congettura che li riguarda afferma che esistono infiniti numeri primi gemelli ovvero che esistono infiniti numeri primi p tali che anche p + 2 è un numero primo. Anche in questo caso una dimostrazione generale della congettura manca. Gli studi sui numeri primi gemelli sono numerosi e sono giunti anche a postulare una certa loro distribuzione (congettura di Hardy-Littlewood), ma al momento non si va oltre il teorema che ha provato che esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 o è primo o è prodotto di due numeri primi.

Vi è poi la congettura di Legendre che afferma che esiste sempre un numero primo compreso tra n² e (n + 1)²; per esempio esiste tra 1 e 4 (per n = 1), tra 4 e 9 (per n = 2), tra 9 e 16 (per n = 3). Occorre anche ricordare le ricerche relative a numeri primi che presentano una particolare espressione, all’ipotesi di Fermat, ai numeri di Mersenne. Ma la congettura centrale (a cui, più o meno direttamente, anche molte di quelle già citate rimandano) rimane quella di Riemann. La sua dimostrazione è l’unico problema già presentato da D. Hilbert al Congresso internazionale dei matematici di Parigi del 1900 e che figura anche nel sito del Clay Mathematics Institute tra i problemi del millennio, la cui soluzione – se e quando sarà provata – varrà il premio di un milione di dollari!

Quando si pensa ai numeri primi, il primo e più elementare (ma anche più difficile!) problema che viene in mente riguarda la loro distribuzione. Gli infiniti numeri primi si susseguono senza alcuna apparente regola. Nella successione 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … non si trova alcun indizio che permetta di prevedere l’elemento successivo; si intuisce solo che, più si prosegue a contare, più i numeri primi diventano rari. Tra 1 e 100 ci sono 25 numeri primi, ma nell’intervallo tra 1 e 1000 la loro percentuale scende al 16% e addirittura al 10% se si considerano tutti i numeri tra 1 e 100.000. L’ipotesi avanzata da C.F. Gauss porta ad affermare che π(N), il numero dei primi che risultano minori di o uguali a un qualsiasi numero naturale N, è dato approssimativamente dal rapporto N /logN (dove il logaritmo al denominatore è quello in base e). La congettura di Gauss si è rivelata sorprendentemente azzeccata anche alla luce dei successivi calcoli e degli strumenti più potenti introdotti per eseguirli. Tra i matematici che hanno dato i più significativi contributi al progresso dell’analisi della congettura di Gauss spicca il nome di un suo allievo, B. Riemann, che espose la sua soluzione in dieci “paginette” redatte nel 1859 in occasione della sua elezione a socio dell’Accademia di Berlino. Il contributo di Riemann è legato allo studio della cosiddetta funzione zeta, definita nel campo complesso come somma degli addendi della forma 1/n^z al variare di n da 1,2, 3, ... Riemann approfondisce la sorprendente relazione che lega questa funzione ai numeri primi dando una formula che mostra la dipendenza di π(N) dai valori complessi di z che annullano la funzione zeta. È proprio a proposito di questi zeri che avanza la congettura che essi abbiano tutti la loro parte reale uguale a 1/2. Ancor oggi l’ipotesi di Riemann non è stata dimostrata anche se è stato provato che i primi 75 milioni dei suoi zeri cadono effettivamente sulla retta x = 1/2. È un numero che cresce di anno in anno, ma i matematici non si accontentano: 75 milioni non bastano, pretendono che la congettura venga dimostrata per tutti gli zeri.