IRROTAZIONALE

IRROTAZIONALE

. I moti irrotazionali sono particolari moti di un fluido (ad es., di un gas perfetto). Si fissi l'attenzione su un generico punto O della regione occupata, in un generico istante t, dal fluido, e se ne consideri la particella intorno ad O. In virtù di un teorema generale sugli spostamenti infinitesimi dei sistemi continui, comunque deformabili, lo spostamento elementare dP, che un qualsiasi punto P di codesta particella subisce nel tempuscolo compreso fra l'istante t e l'istante t + dt, è decomponibile in tre spostamenti infinitesimi, corrispondenti, rispettivamente, a una traslazione, a una rotazione e a una deformazione della particella. Orbene, il moto si dice irrotazionale, se, in ogni posto della regione occupata dal fluido e in ogni istante, è nulla codesta rotazione. Per contrapposto, ogni moto, in cui non si verifichi questa speciale circostanza, si dice vorticoso.

Ove si indichi con V la velocità della particella, che nel generico istante t occupa il generico posto P, di coordinate cartesiane ortogonali x, y, z, la condizione che il moto sia irrotazionale equivale alla esistenza di una funzione ϕ (x, y, z∣t), di cui le tre derivate parziali ∂ϕ/∂x, ∂ϕ/∂y, ∂ϕ/∂z, forniscano le componenti v_x, v_y, v_z della velocità v secondo gli assi. In altre parole codesta condizione è espressa dall'equazione vettoriale (v. gradiente)

La funzione ϕ si chiama potenziale di velocità del moto irrotazionale. Ove si ponga

e si denoti con a l'accelerazione della particella che ha la velocità v, dalla (1) discende

Di qui è facile dedurre che l'equazione indefinita del moto del fluido, che in generale è un'equazione vettoriale (equivalente a tre equazioni scalari), si riduce, nel caso dei moti irrotazionali, a un'unica equazione scalare. Infatti se per semplicità si suppone che la forza di massa sia conservativa e derivi dal potenziale U e si pone

dove ρ e p denotano la densità e la pressione del fluido, l'equazione indefinita del moto è

onde, tenendo conto della (2), si ha

cioè

dove C indica una costante rispetto a x, y, z, cioè ma funzione del solo tempo t.

Per definire il moto occorre dare, oltre la (3), un'altra equazione indefinita, la cosiddetta equazione di continuità, la quale, ad es., per i liquidi omogenei - e, più in generale, per tutti i fluidi incompressibili - è data da div v = 0 (v. divergenza), ossia da

onde abbiamo che in tal caso il potenziale di velocità deve essere una funzione armonica di x, y, z (v. armonico: Funzioni armoniche).