continuo, ipotesi del

continuo, ipotesi del

continuo, ipotesi del o congettura di Cantor, assioma della teoria degli insiemi (→ Zermelo-Fraenkel, assiomi di) che si formula come segue: non esistono insiemi di cardinalità intermedia tra quella dell’insieme N dei numeri naturali (detta cardinalità del numerabile) e quella dell’insieme R dei numeri reali (detta cardinalità del continuo); non esistono cioè “livelli” di infinito intermedi tra il numerabile e il continuo. La conferma rigorosa dell’ipotesi del continuo è il primo dei 23 problemi descritti da D. Hilbert nel 1900, la cui risoluzione sarebbe stata essenziale per lo sviluppo della matematica. L’ipotesi si è rivelata indimostrabile e indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi. Nel 1938 K. Gödel ne dimostrò la consistenza con gli altri assiomi: se la teoria degli insiemi, con gli assiomi di Zermelo-Fraenkel e l’aggiunta dell’assioma della → scelta, era non contraddittoria, allora essa rimaneva non contraddittoria anche aggiungendo come ulteriore assioma l’ipotesi del continuo. Si trattava quindi di individuare un modello della teoria che falsificasse l’ipotesi in questione. Nel 1963, P. Cohen, a partire dalla costruzione di Gödel, riuscì a ottenere un modello in cui appariva un insieme che non poteva essere compiutamente caratterizzato da alcuna classe finita disponibile di informazioni, per quanto si riuscisse sempre ad ampliarla in modo da costringere qualsiasi enunciato assegnato a essere vero o falso. Il modello ottenuto con questa tecnica, nota come forcing, è proprio quello cercato. Cohen dimostrò così l’indipendenza dell’ipotesi del continuo dagli altri assiomi della teoria degli insiemi e quindi la sua indecidibilità all’interno della teoria di Zermelo-Fraenkel, anche aggiungendovi l’assioma della scelta; in altri termini, questa teoria non può stabilire se l’ipotesi del continuo è vera o falsa. Indecidibile è stata dimostrata anche la cosiddetta ipotesi del continuo generalizzata che estende in modo naturale l’ipotesi precedente affermando che non esistono cardinalità intermedie tra quella di un qualsiasi insieme infinito e quella, maggiore, del suo insieme delle parti.