iperbolico

In matematica in generale, si dice di un ente, di cui una qualche proprietà essenziale sia collegata con una equazione di secondo grado avente radici reali e distinte, cioè a discriminante positivo; la ragione della denominazione sta nel fatto che la ricerca della coppia dei punti di incontro di una iperbole con la retta all’infinito del suo piano dipende appunto da una siffatta equazione.

Funzioni iperboliche Funzioni con definizione e proprietà analoghe a quelle delle funzioni circolari o trigonometriche: sono esse precisamente il seno i., il coseno i., la tangente i.; le loro reciproche (cosecante, secante, cotangente i.) e le funzioni i. inverse (settore seno o arcoseno i. ecc.); le notazioni più usuali sono senhx, coshx e analoghe, settsenhx, settcoshx e analoghe. Si definiscono come segue: senhx=(e^x−e^–x)/2, coshx=(e^x+e^–x)/2, tghx=senhx/coshx, ctghx=1/tghx, sechx=1/coshx, cosechx=1/senhx.

Le funzioni i. e le funzioni circolari sono collegate tra loro dalle relazioni seguenti: senh ix=i sen x, cosh ix=cos x, tgh ix=i tg x; nel campo complesso pertanto i due tipi di funzioni non appaiono distinti. Per tali funzioni valgono le identità: senh (−x)=−senh x; cosh (−x)=coshx; cosh²x−senh² x=1; sech² x+tgh² x=1; ctgh² x−cosech² x=1.

fig. 1

fig. 2

Il seno i. e il coseno i. si possono definire anche, per via geometrica, nel seguente modo: fissata nel piano Ωξη l’iperbole equilatera ξ²−η²=1 (fig. 1) e presi due punti A, A′ di essa nel semipiano delle ξ positive e simmetrici rispetto all’asse ξ, si consideri l’area del triangolo mistilineo determinato dai segmenti ΩA, ΩA′ e dall’arco AA′; se x è il valore di tale area, le coordinate di A sono ξ=coshx, η=senhx. Ciò significa che il seno e il coseno i. sono coordinate di un punto variabile sopra l’anzidetta iperbole equilatera, allo stesso modo che il seno e il coseno ordinari sono coordinate di un punto variabile sopra la circonferenza di raggio unitario. In fig. 2 sono riportati i grafici delle funzioni y=senhx e y=coshx, e qui di seguito i relativi sviluppi in serie

[1]

validi per x qualunque. Diamo anche l’espressione delle funzioni i. inverse:

[2]

Tali formule stabiliscono, tra l’altro, delle relazioni tra le funzioni i. e la funzione logaritmo.

Per quanto riguarda la geometria iperbolica ➔ geometria.