INTEGRALE PRIMO
INTEGRALE PRIMO
. Dato un sistema normale di n equazioni differenziali del 1° ordine nelle n funzioni incognite x1, x2, . . ., xn della variabile indipendente t
dove xi = dxi/dt e le Xi sono funzioni (conosciute) delle n + 1 variabili x1, x2, . . ., xn, t, dicesi che le funzioni xi (t) (i = 1, 2, . . ., n) ne costituiscono una soluzione se esso è identicamente vericato ove a ciascuna xi si sostituisca la xi (t). Ebbene, un'equazione della forma
implicante le funzioni incognite x ed eventualmente t, ma non le derivate x, e avente a secondo membro una costante arbitraria c, è un integrale primo di (S), se essa è identicamente verificata da ogni soluzione di (S) per un opportuno valore di c. Talvolta dicesi integrale primo o soltanto integrale di (S) la funzione f a primo membro della (1); e affinché ciò sia è necessario e sufficiente che la funzione f soddisfi l'equazione a derivate parziali
La conoscenza di m integrali primi, indipendenti, di (S)
permette di ridurre il sistema differenziale (S) a un sistema differenziale normale in n - m funzioni incognite.
Si supponga di poter risolvere le (1′) rispetto alle x1, x2,. . ., xm. Si avrà:
Sostituendo le ϕ al posto di x1,. . ., xm nelle equazioni del sistema (S) corrispondenti agl'indici m + 1,. . ., n, si ha il sistema ridotto
di cui i secondi membri sono le Xm+j (ϕ1. . ., ϕm, xm+1,. . ., xn ∣t). L'integrazione del sistema (S′) introduce n − m nuove costanti arbitrarie che insieme con le c1, c2,. . . , cm costituiscono le n costanti arbitrarie coinvolte nell'integrale generale di (S). Integrato (S′), le x1,. . ., xm risultano determinate a norma delle (3).
La conoscenza di n integrali primi, indipendenti, di (S) equivale a quella dell'integrale generale.
La determinazione degl'integrali primi è di notevole importanza in meccanica per lo studio del moto dei sistemi dinamici. Se, ad es., un punto materiale P di massa unitaria è riferito a una terna cartesiana Oxyz, animata da moto traslatorio uniforme rispetto alle stelle fisse, le equazioni differenziali del moto di P sono
dove X, Y, Z sono le componenti secondo gli assi della forza totale unitaria F che sollecita P. Ammettendo che la F dipenda soltanto dalle coordinate x, y, z di P e sia conservativa, cioè esista una funzione U (x, y, z), tale che
il sistema (Σ) si può scrivere
e ammette l'integrale primo (detto delle forze vive o dell'energia)
dove E (energia totale) è una costante arbitraria.
Le funzioni incognite del sistema (S) sono le coordinate (x, y, z) di P e le componenti (u, v, w) della sua velocità e quest'equazione esprime la conservazione dell'energia totale del punto materiale durante il moto (v. dinamica, n. 15).