insiemi parzialmente ordinati
insiemi parzialmente ordinati
Un insieme (o spazio) A sul quale sia definito un ordine parziale ≤, spesso detto anche poset. Un ordine parziale è una relazione binaria che soddisfa le seguenti proprietà: (a) a≤a (riflessività); (b) se a≤b e b≤c allora a≤c (transitività); (c) se a≤b e b≤a allora a=b (antisimmetria). L’aggettivo parziale è motivato dal fatto che dati due qualunque elementi a,b di A non necessariamente sussiste tra essi una delle due relazioni a≤b o b≤a, ovvero non si fa richiesta che due elementi siano sempre confrontabili. Se questo è il caso, si parla allora di ordinamento totale e di insiemi totalmente ordinati. Un sottoinsieme totalmente ordinato di un insieme parzialmente ordinato A è detto catena. L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme, dove a≤b significa a⊂b, è un esempio di insieme parzialmente ordinato ma non totalmente ordinato, così come l’insieme di tutte le funzioni sull’intervallo [0,1] dove f≤g significa f(x)≤g(x) per ogni x∈[0,1]. Spesso, considerando un insieme parzialmente ordinato A, si è interessati all’esistenza di elementi massimali m, cioè tali che a≤m per ogni a∈A. La loro esistenza è garantita dal lemma di Zorn: se ogni catena di un insieme parzialmente ordinato A ha un elemento massimale in A, allora esiste un elemento massimale per A. Il lemma di Zorn è equivalente al celebre assioma della scelta di Ernst Zermelo, che afferma la possibilità di scegliere un singolo elemento da ciascun membro di una collezione (non numerabile) di insiemi. Una sua ulteriore formulazione è ancora più sorprendente: su qualunque insieme (quindi per es. anche la retta reale ℝ) è possibile trovare un ordinamento totale tale che ogni sottoinsieme ammette un minimo o un massimo. La nozione di insieme parzialmente ordinato ha anche permesso di generalizzare il concetto di successione a elementi indicizzati da insiemi non numerabili e non solo dagli interi ℕ e dunque la nozione di convergenza a spazi topologici generali.
→ Combinatoria; Equazioni differenziali: problemi non lineari