insieme limite

insieme limite

insieme limite relativo a un punto x₀ per una funzione ƒ(x), è l’insieme di tutti i punti limite di ƒ(x) per x → x₀. Se L è tale insieme limite, e l ∈ L, esiste una successione {x_n}, con x_n → x₀, tale che ƒ(x_n) → l. Un insieme limite è sempre chiuso nella retta estesa [−∞, +∞]; in particolare, se L è illimitato superiormente, +∞ ∈ L. Se ƒ(x) ammette limite l per x → x₀, L si riduce a {l} e viceversa.

Per esempio, l’insieme limite di sin(1/x) per x → 0 è [−1, 1]; quello di 1/sinx per x → ∞ è

quello di (−1)ⁿ + 1/n per n → ∞ è {−1, 1} (→ massimo e minimo limite).