IDRODINAMICA

IDRODINAMICA (gr. ὕδωρ "acqua" e δύναμις "forza")

Si vuole esprimere con questa parola quel ramo della meccanica applicata ai fluidi nel quale si tratta della dinamica dell'acqua, cioè del suo movimento posto in relazione con le forze applicate alla sua massa e al suo contorno. Le leggi che s'incontrano in questo studio particolare sono tuttavia valide anche nel caso in cui si tratti di un qualsiasî altro liquido, bastando solamente mutare le costanti fisiche (peso specifico, modulo di comprimibilità, coefficienti di viscosità, ecc.) che figurano nell'espressione analitica di tali leggi; e però da taluni viene generalmente inclusa nell'idrodinamica anche la dinamica di tutti gli altri liquidi.

1. Variabili di Lagrange e di Eulero. - Nella dinamica dei sistemi rigidi si definisce ordinariamente il moto dei corpi che costituiscono il sistema, determinando, in funzione della loro posizione iniziale, la posizione che essi assumono negli istanti successivi. Se P è un punto materiale del sistema di coordinate x₀, y₀, z₀ al tempo iniziale t₀, si determinano le sue coordinate x, y, z in funzione del tempo t; quindi, poiché P è un punto generico del sistema, il problema è così ricondotto alla ricerca delle funzioni incognite x, y, z delle quattro variabili x₀, y₀, z₀, t: le quali prendono il nome di variabili di Lagrange.

Questo medesimo criterio potrebbe ritenersi applicabile con vantaggio anche alla dinamica dei sistemi deformabili, o continui, salvo aggiungere alle tre funzioni incognite x, y, z le altre due: pressione unitaria p e densità ρ (la velocità e l'accelerazione sono immediatamente deducibili dalle prime tre); ciò che equivarrebbe a seguire le vicende di ciascuna particella fluida lungo la sua traiettoria. Sennonché, mediante un tale procedimento, non si raggiunge una conoscenza immediata di ciò che accade in determinati punti dello spazio col passare del tempo, conoscenza questa che è, invece, di grande interesse per i tecnici, ai quali preme conoscere le variazioni, col tempo, della velocità, della pressione e della densità in determinate sezioni di una corrente.

E però giova assai meglio, a un tale scopo, il collocarsi in punti fissi dello spazio e il considerare ciò che accade in quelli col passare del tempo, senza curarsi delle vicende passate e future dei diversi elementi fluidi che passano per quei determinati punti. Le funzioni che si assumono, di solito, come incognite sono cinque: p, ρ e le tre componenti u, v, w della velocità v. Le variabili saranno, naturalmente, le coordinate dei punti fissi nei quali s'intende di collocarsi e il tempo, cioè: x, y, z, t. Esse prendono il nome di variabili di Eulero.

Leggi del movimento dell'acqua, considerata come un liquido perfetto. - 2. L'equazione indefinita del moto. Una delle proprietà caratteristiche dell'acqua è la sua grande fluidità, o deformabilità, in virtù della quale bastano piccole forze per provocare in essa grandi deformazioni. Un liquido, per il quale tali piccole forze fossero rigorosamente nulle, si dice liquido perfetto. Non esistono in natura liquidi perfetti; peraltro sono frequenti i fenomeni nei quali i liquidi naturali si comportano praticamente come liquidi perfetti, nel senso che in quei fenomeni il lavoro compiuto dalle resistenze passive durante il moto relativo delle particelle liquide è piccola cosa confrontato con quello compiuto da altre forze, o con la trasformazione di altre forme di energia. Nella trattazione di tutti i problemi nei quali si verifica tale circostanza, l'acqua viene perciò considerata come se fosse priva di viscosità, cioè come un liquido perfetto.

L'equazione indefinita del movimento, in forma vettoriale, assume in tal caso l'espressione:

nella quale p è la pressione unitaria, ρ la densità, F la forza applicata all'unità di massa, e α l'accelerazione. In forma cartesiana l'equazione (1) dà luogo alle tre seguenti:

in cui x, y, z sono le coordinate di un punto generico, X, Y, Z sono le componenti di F e u′, v′, w′ quelle dell'accelerazione α.

Le (1) e (2) possono anche trasformarsi in altre, più convenienti per talune questioni dell'idrotecnica, le quali risultano dalla decomposizione dell'accelerazione α, che si deve intendere sempre calcolata seguendo la particella liquida lungo la sua traiettoria, nelle due parti:

essendo s la lunghezza dell'arco di traiettoria contata a partire da una determinata origine e V la grandezza della velocità v.

Risultano così, in luogo della (1):

e in luogo delle (2):

poiché

sono le componenti del vettore

ecc., quelle del vettore

La derivata

della funzione u delle quattro varîabili x, y, z, t si dice derivata euleriana della funzione u. Così dicasi delle altre.

3. L'equazione di continuità. - Una seconda equazione, anch'essa indefinita, che deve cioè valere in tutti i punti dello spazio occupato dal liquido nell'istante t, è l'equazione di continuità; la quale esprime che l'aumento, durante un certo tempo, della massa contenuta entro una superficie chiusa è uguale all'eccesso della massa entrata sopra quella uscita. Vale la pena di rilevare che questo computo, in apparenza banale, costituisce il fondamento di alcuni capitoli dell'idrodinamica e basta alla soluzione di molti problemi. Eseguendo tale computo, con riferimento a una superficie chiusa finita, oppure a un elemento infinitesimo dello spazio, si trova:

cioè ancora:

Nella (5) la derivata

è parziale, eseguita cioè stando fermi nel punto considerato; nella (6), invece, la derivata

è totale, eseguita cioè seguendo la particella liquida lungo la sua traiettoria. Nei problemi nei quali l'acqua può essere considerata rigorosamente incomprimibile, si porrà

e si scriverà perciò:

che in forma cartesiana assume notoriamente l'espressione:

4. - L'equazione caratteristica. - Le (4) e la (6) costituiscono un sistema di quattro equazioni nelle cinque funzioni incognite u, v, w, p, q. Una quinta equazione è fornita da una relazione, che s'intende essere sempre la medesima in tutti i punti del liquido e in qualunque istante, intercedente fra la pressione p e la densità ρ.

Si ha precisamente:

dove y è il modulo di comprimibilità cubica del liquido (rapporto fra aumento di pressione e diminuzione di volume dell'unità di volume) e p₀, q₀ corrispondono a uno stato di riferimento. Ove si voglia trascurare la piccola comprimibilità dei liquidi, in luogo della (9) si scrive:

e, qualora si tratti inoltre di un liquido omogeneo:

In ciascuno di questi due casi l'equazione di continuità (6) si semplifica nella (8).

5. Condizioni iniziali e ai limiti. - Il sistema delle cinque equazioni (4), (6), (9) nelle cinque funzioni incognite è integrabile solamente in casi assai particolari, quando inoltre siano fissate le condizioni iniziali e le condizioni ai limiti. Le prime consistono in ciò che è assegnato nell'istante iniziale t₀ il valore di ognuna delle cinque funzioni in tutti i punti dello spazio; le seconde sono destinate, invece, a tener conto dello stato di quiete o di moto in cui si trovano le pareti o i fluidi coi quali il liquido considerato trovasi a contatto. Esse si suddividono in condizioni cinematiche e dinamiche.

6. Moti irrotazionali. - Supponiamo che il movimento di un liquido perfetto si effettui in maniera tale che in un determinato istante il campo v delle velocità dipenda dal potenziale ψ (x, y, z).

Si avrà:

e quindi:

In forma cartesiana la (12) equivale a:

e la (13) a:

nelle ultime delle quali i primi membri rappresentano appunto le tre componenti del vettore rot v. Dunque: se la velocità ammette un potenziale, il moto è irrotazionale. E reciprocamente; poiché le (13′) rappresentano precisamente la condizione necessaria e sufficiente affinché l'espressione udx + vdy + wdz sia il differenziale totale, o, come si suole dire, esatto, di una certa funzione ψ: è quanto dire affinché siano verificate le relazioni (12′).

Che cosa s'intenda con l'espressione moto irrotazionale è cosa nota ed è argomento della Cinematica dei sistemi deformabili, nella quale si dimostra inoltre che la modificazione infinitesima di posizione e di forma subita da un piccolo elemento di volume, qual'è quella che si verifica in un liquido in movimento durante un tempo infinitesimo dt, può decomporsi nelle tre seguenti: 1ª una traslazione (moto di corpo rigido) eguale allo spostamento di un suo qualsiasi punto P; 2ª una rotazione (moto di corpo rigido) intorno al vettore 1/2 rot v (nel caso di un liquido in moto) calcolato in P, definita in grandezza e senso, secondo note convenzioni, da questo vettore moltiplicato per dt; 3ª una deformazione pura definita da una matrice a 9 coefficienti (omografia), di cui 6 sono due a due fra loro eguali, che prende il nome di dilatazione. Le prime due trasformazioni rappresentano un moto di corpo rigido dell'elemento, l'ultima costituisce la vera deformazione. Orbene, quando v dipende dal potenziale ψ, si annulla la 2ª trasformazione e però la modificazione infinitesima subita da un elemento di volume del fluido in movimento si riduce a una traslazione e a una deformazione pura.

7. Il moto della massa liquida risulta definito in maniera molto espressiva qualora siano note le superficie equipotenziali:

Infatti, per note proprietà dei campi potenziali, il vettore v risulterà in ciascun punto P perpendicolare alla superficie equipotenziale passante per P e avrà la grandezza e il segno (sempre positivo) della derivata

eseguita normalmente a detta superficie nel senso delle ψ crescenti. E però le linee di flusso (traiettorie quando il moto è permanente) costituiscono la famiglia delle linee normali alle superficie (14).

8. Applichiamo la proprietà (12) all'equazione (1) del moto risoluta per F, cioè alla relazione:

Ammesso che ρ dipenda da p e che quindi possa scriversi:

e avendo presente che, in base alla (12) stessa, è:

risulta:

In un liquido perfetto, all'esistenza di un potenziale delle velocità segue dunque necessariamente quella di un potenziale delle forze di massa. Chiamando ϕ questo potenziale, si avrà così:

la costante essendo tale rispetto all'operatore grad, cioè in tutta la massa liquida; e quindi ancora:

9. Anche l'equazione di continuità subisce, mediante la (12), un'interessante trasformazione. Limitandoci al caso dei liquidi considerati come incomprimibili, cioè applicando la (12) alla (8), si ottiene:

esprimente che il potenziale delle velocità di un liquido, in particolare dell'acqua, è una funzione armonica. Di qui la possibilità di definire la funzione armonica ψ, e quindi gli elementi del moto, valendosi di noti procedimenti del calcolo funzionale quando di tale funzione incognita siano dati i valori al contorno, oppure quelli della sua derivata normale. Particolare interesse presentano, a questo riguardo, i moti irrotazionali piani, poiché a essi sono applicabili inoltre i più notevoli risultati della teoria delle funzioni analitiche.

10. Moti rotazionali. Vortici. - Qualora il movimento di un liquido perfetto non risponda ai requisiti illustrati nel n. 6, si manifestano in seno alla sua massa dei vortici ai quali spetta un carattere di indistruttibilità, posto in rilievo da H. L. F. von Helmholtz. Si osservi, anzitutto, che in un liquido perfetto, soggetto a forze di massa conservative, cioè dipendenti dal potenziale ϕ e la cui densità sia costante oppure una nota funzione della pressione unitaria p, anche l'accelerazione α dipende da un potenziale: ciò che risulta subito dalla (1) risolvendo per α, tenendo conto della (15) e ponendo: F = grad ϕ. Ciò posto, si presenta facile la dimostrazione del seguente teorema dovuto a J. Thomson: "Durante il suo moto una qualsiasi linea chiusa l conserva immutata la circuitazione del vettore v calcolata su di essa".

Si può difatti verificare che è:

dove dP è un elemento d'arco della linea l e la derivata rispetto al tempo s'intende eseguita seguendo le particelle liquide costituenti la linea stessa lungo le loro traiettorie.

Questo teorema risulta naturalmente vincolato alle medesime condizioni cui è sottoposta la proprietà precedente, e cioè: assenza i viscosità, e dipendenza di F dal potenziale ϕ e della densità ρ da p.

Subordinatamente a tali requisiti valgono i seguenti teoremi:

Teorema di Lagrange. - "Se il moto di un liquido è irrotazionale in un determinato istante, tale si conserva anche in seguito e tale era anche prima, quali che siano le forze esterne applicate".

La dimostrazione di questa verità risulta immediata, in base alla (19), e ricordando la nota relazione:

dovuta a sir G. G. Stokes, nella quale σ è una qualsiasi superficie di contorno l tutta contenuta nel liquido, ed n è un vettore unitario generico normale a σ, diretto in un senso prestabilito.

Teorema di Helmholtz. - Premesso che si chiamano linee vorticali e superficie vorticali le linee e le superficie di flusso del vettore rot v, questo teorema esprime che gli elementi liquidi i quali in un determinato istante si trovano sopra una linea vorticale, o sopra una superficie vorticale, saranno in seguito, ed erano anche prima, rispettivamente sopra linee o superficie ancora vorticali.

Tale proprietà risulta dall'essere invariabile col tempo la circuitazione del vettore v estesa a una linea chiusa qualsiasi, in particolare estesa a una linea chiusa giacente sopra una superficie vorticale. In tal caso la circuitazione risulta nulla e tale perciò era anche prima e si conserverà in seguito; quindi, essendo questa una proprietà caratteristica delle superficie vorticali, per tali superficie il teorema è dimostrato. Quanto alle linee, basta osservare che una qualsiasi linea vorticale può sempre ritenersi l'intersezione di due superficie vorticali, e che perciò la validità del teorema dimostrato per queste ultime importa quella del medesimo teorema relativo alle linee.

Si devono al Hemholtz anche le seguenti proposizioni, la cui verità è evidente: "La circuitazione del vettore v estesa a una linea chiusa l che abbraccia un tubo vorticoso (costituito cioè da linee vorticali uscenti da una linea chiusa qualsiasi) è costante. Questa costante non muta: sia variando la posizione di l in un determinato istante, sia variando il tempo. Un tubo vorticoso non può avere né principio né fine entro il liquido in moto. Esso si chiude in sé stesso formando un anello, oppure s'estende sino alle pareti o a superficie di discontinuità". Tenuto conto del teorema di Stokes, queste ultime proposizioni costituiscono, si può dire, il principio della conservazione del moto rotazionale, così come il teorema di Lagrange rappresenta il principio della conservazione del moto irrotazionale.

11. Il teorema di Bernoulli. - Un liquido perfetto, omogeneo, considerato come incomprimibile, sia animato da un moto permanente, tale cioè che in ciascun punto non mutino col passare del tempo, i valori di u, v, w, p, ρ. Inoltre le forze di massa dipendano dal potenziale ϕ, talché si abbia:

ciò che precisamente accade qualora agisca la sola gravità. In tali condizioni si dimostra, partendo dalla (1) e moltiplicandola scalarmente per un elemento infinitesimo di traiettoria, che è:

la costante potendo essere diversa da traietttiria a traiettoria.

È questo il teorema di D. Bernoulli che può giustamente chiamarsi il teorema fondamentale dell'idraulica. Dal modo col quale viene dedotto, esso pone in confronto i valori del trinomio

calcolati in diversi punti di una medesima traiettoria nel medesimo istante. Ma evidentemente quest'ultima condizione risulta superflua, trattandosi di moto permanente, perché in tal caso non muta, col passare del tempo, nessuna delle caratteristiche del moto che si riscontrano in ciascun punto della traiettoria che si considera. E perciò può ancora dirsi che il teorema pone a confronto i valori del trinomio

relativi a un medesimo elemento durante il suo percorso, cioè in successivi istanti lungo la sua traiettoria. Il confronto in parola, secondo ciò che la (22) afferma, porta dunque alla conclusione che detto trinomio ha, lungo ciascuna traiettoria, tanto se si considera un medesimo elemento in successivi istanti, come se si considerano diversi individui in uno stesso istante, un valore costante; la costante potendo essere diversa da una traiettoria all'altra.

Particolare interesse presenta il caso delle forze di massa dovute alla sola gravità. In tale caso si ha: F = − grad (gz), cioè ϕ = − gz, dove z è l'altezza del punto che si considera sopra un piano orizzontale (il piano xy) di riferimento; cosicché la (22), posto ρg = ῶ, peso specifico del liquido, diviene:

Il termine V²/2g prende il nome di altezza generatrice della velocità V, essendo l'altezza dalla quale deve cadere, nel vuoto, un grave inizialmente in riposo per acquistare la velocità V. La somma dell'altezza V²/2g con il carico piezometrico z + p/ῶ si chiama carico effettivo. Può dunque dirsi: "Lungo ogni traiettoria di una corrente liquida, omogenea, incompressibile, priva di viscosità, soggetta alla sola azione del suo peso e animata da un moto permanente, il carico effettivo

si mantiene costante".

La costante può differire da traiettoria a traiettoria.

12. A questo teorema spetta un'interpretazione meccanica importante. Nell'idrostatica, quando s'illustra il significato da attribuirsi alla proprietà z + p/ῶ = cost. in ogni punto di una massa liquida omogenea in riposo, si conclude che essa esprime la costanza in essi punti della totale energia potenziale (dovuta alla posizione e alla pressione) posseduta dall'unità di peso, cioè da un kg. del liquido considerato. Il teorema di Bernoulli esprime ora un'analoga proprietà, limitatamente però a una traiettoria, e aggiunge un terzo termine destinato a tener conto dell'energia cinetica. Infatti la lunghezza V²/2g è l'energia cinetica posseduta dall'unità di peso animata da una velocità di grandezza V. Esso viene dunque ad affermare la costanza dell'energia meccanica (potenziale di posizione z, potenziale dovuta a pressione p/ῶ, e cinetica V²/2g) posseduta dall'unità di peso durante il suo moto: ciò che lo identifica con il principio della conservazione dell'energia.

Leggi del movimento dell'acqua, tenendo conto della viscosita. - 13. La legge di Newton. - Quando una corrente liquida subisce lungo il suo percorso notevoli perdite di energia meccanica, occorre mettere in conto nelle equazioni del moto anche i termini dovuti alla viscosità. È fondamentale, per la deduzione delle nuove equazioni, la legge data da Newton sin dal 1687, in base alla quale "la resistenza, che gli strati liquidi meno veloci di una corrente oppongono al trascinamento su di essi esercitato dagli strati più veloci, è proporzionale all'incremento della velocità per unità di spostamento normale agli strati stessi". Il coefficiente di proporzionalità, che indicheremo con ε, fra la resistenza in questione e detto incremento unitario si chiama coefficiente di viscosità. Per l'acqua, nel sistema unitario (metro, kg., secondo), si ha:

essendo T la temperatura in gradi centigradi contata a partire dai 10 gradi.

14. Le equazioni del Navier. - Dopo esposta la legge fondamentale del Newton, la deduzione delle equazioni del moto di un liquido viscoso si svolge di pari passo con quella delle equazioni del moto di un corpo elastico. Trascurando la comprimibilità, si giunge alla seguente equazione, dovuta a L. M. H. Navier:

che in forma cartesiana si scinde nelle tre:

nelle quali p è la parte statica della pressione, cioè la media aritmetica delle tre pressioni principali, e il simbolo Δ rappresenta il noto operatore differenziale del secondo ordine introdotto da P. S. Laplace. A queste equazioni indefinite devono poi aggiungersi: l'equazione di continuità (8), la medesima cioè che si è indicata per i liquidi perfetti non comprimibili, e le condizioni iniziali e ai limiti.

15. Le condizioni ai limiti. - Consistono queste nell'assegnare i valori che sulla superficie σ, delimitante lo spazio considerato, sono assunti, o dalle forze unitarie F_σ ivi applicate, oppure dalla velocità v_σ delle particelle che si trovano su σ: valori, tanto gli uni come gli altri, eventualmente variabili col tempo. Condizioni ritenute sufficienti anche quando sopra alcune zone di σ sono assegnate le forze e sulle zone rimanenti le velocità. Se n è un vettore unitario uscente da un punto generico di σ e rivolto verso l'interno, si ha, indicando con β l'omografia delle pressioni:

cioè, tenuto conto della relazione che intercede fra β e l'omografia delle deformazioni nel caso in cui si tratti di fluidi incomprimibili:

eguaglianza che deve essere verificata in tutti i punti del contorno σ.

16. Regime regolare e regime turbolento. - Il movimento di una corrente può presentarsi sotto due aspetti sostanzialmente diversi: può accadere che le traiettorie percorse dagli elementi liquidi siano linee regolari ben definite, il cui andamento si accorda con quello di tutta la corrente, e allora si dice che il regime è regolare; può accadere invece che le singole traiettorie abbiano un andamento tortuoso, irregolare, dovuto al fatto che al movimento generale di trasporto della corrente si sovrappone un'agitazione vorticosa: e allora il regime si dice turbolento. In regime regolare si trovano, ad es., le correnti d'acqua che attraversano strati sotterranei permeabili; mentre nella quasi totalità delle correnti che scorrono entro condotte in pressione o lungo canali scoperti si riscontra il regime turbolento. In sostanza l'un caso o l'altro si presentano a seconda che la velocità di trasporto della corrente è, a parità delle altre condizioni, inferiore oppure superiore a un certo valore critico. Per condotte cilindriche a sezione retta circolare O. Reynolds ha trovato che, nel caso dell'acqua, la velocità critica in metri al secondo può esprimersi mediante il rapporto:

essendo D il diametro interno della condotta espresso in metri e T la temperatura dell'acqua in centigradi al disopra dello zero. La distinzione ora accennata ha un importante riferimento con le condizioni ai limiti che occorre introdurre quando si vuole impostare, tenendo conto della realtà dei fatti, il problema del moto di una corrente. Precisamente, nel caso delle condotte in pressione, si pone eguale a zero la velocità alla parete qualora il regime sia regolare; laddove assai più complesse condizioni occorre introdurre nel caso in cui il regime sia turbolento: condizioni che costituiscono, si può dire, il punto più delicato e controverso della dinamica dei liquidi viscosi.

17. Il teorema di Bernoulli per i liquidi viscosi. - Si moltiplichi scalarmente l'equazione (25) per un elemento vdt di traiettoria. Ammesso che le forze di massa dipendano dal potenziale ϕ e che detto potenziale, nelle condizioni più generali, possa variare col tempo, si ottiene:

relazione nella quale ciascuno dei due membri misura la variazione che nel tempo dt subisce l'energia meccanica dell'unità di massa spostandosi lungo la sua traiettoria. Nel caso in cui le forze di massa sono dovute alla sola gravità, è ϕ = − gz, indipendente da t, e però risulta:

espressione riferita ora all'unità di peso; e, qualora il moto sia permanente:

Di particolare interesse è la relazione alla quale si giunge integrando la (31) in tutto lo spazio τ compreso fra le due sezioni, σ₁, e σ₂, normali alla corrente che defluisce, ad es., in una condotta in pressione, e la parete interna σ_p della condotta stessa. Tenuto conto di una nota formula d'integrazione della funzione Δv × v e facendo riferimento all'unità di tempo, si ottiene:

dove σ indica il complesso delle superficie σ₁ + σ₂ + σ_p, n la normale interna ed è:

funzione certamente positiva. Se ne deduce che, quando la parete della condotta è fissa, nel qual caso la grandezza della velocità v cresce dalla parete verso l'interno, risulta

in tutti i punti di σ_p; mentre gl'integrali della modesima funzione estesi alle sezioni σ₁ e σ₂ hanno per ovvie ragioni un'importanza del tutto secondaria. Il secondo membro della (32) assume perciò un valore sicuramente negativo: è quanto dire che l'energia meccanica della corrente contenuta nello spazio τ va diminuendo lungo il percorso. Nel caso in cui la parete, anziché fissa, sia mobile e trascini in parte in sé, per effetto della viscosità, il liquido che essa racchiude, è invece

su tutto σ_p, per essere ora la grandezza della velocità decrescente dalla parete verso l'interno. Di qui la possibilità che il secondo membro della (32) risulti positivo, malgrado si abbia Φ > 0 in tutto τ, o conseguentemente l'eventualità che abbia a crescere l'energia meccanica della corrente lungo il suo percorso.

18. La funzione Φ, sempre positiva, sopra indicata presenta una certa analogia con la nota funzione di dissipazione:

indicata da lord Rayleigh; la quale, tuttavia, differisce da quella sia nella forma come nel significato. A quest'ultima si perviene, infatti, computando il lavoro eseguito nell'unità di tempo dalla parte non statica delle pressioni agenti sul contorno σ. Indicando con β, come si è detto poco sopra, l'omografia delle pressioni totali, e quindi con β − p quella della parte non statica di tali pressioni, si ha per una nota formula d'integrazione della funzione (β − p) n × v:

E però, tenuto presente che l'equazione (25) del moto può anche scriversi sinteticamente nella forma grad β = ρ (F −α) e che quindi si ha: εΔv = − grad (β − p), e notando inoltre che il primo membro della (32) s'identifica, per il modo come è stato dedotto, con l'integrale

risulta dal confronto delle (32) e (35):

relazione la quale, tenute presenti le (27) e (28), pone in evidenza la diversità che corre fra le due funzioni.

Bibl.: G. De Marchi, Idraulica, Milano 1930; Ph. Forchheimer, Hydraulik, Lipsia 1930; M. Brillouin, Leçons sur la viscosité; Handbuch der Physik, VII, Berlino 1927; F. Prasil, Technische Hydrodynamik, Berlino 1926.