geometria metrica

geometria metrica

geometria metrica settore della geometria che studia uno spazio in cui è definita una distanza tra punti e il cui gruppo delle trasformazioni associato è il gruppo delle isometrie. Un insieme X assume la struttura di spazio metrico quando è definita una funzione distanza d: X × X → R, detta metrica, che a ogni coppia di elementi di X associa un numero reale tale che, per ogni x, y, z ∈ X, si abbia

a) d(x, y) ≥ 0

b) d(x, y) = 0 ⇔ x = y

c) d(x, y) = d(y, x)

d) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

In particolare, tale spazio è detto spazio euclideo se, fissato un sistema di riferimento cartesiano, per ogni coppia di punti P(x₁, ..., x_n) e Q(y₁, ..., y_n), la distanza d è data da

che soddisfa le condizioni a), b), c), d). Ogni spazio euclideo è quindi un spazio metrico, ma non è vero il viceversa giacché possono essere date altre definizioni particolari di distanza, che soddisfano le quattro condizioni a), b), c), d), ma non la (1). Per esempio, come caso estremo, povero di applicazioni per la verità, si potrebbe definire come “distanza” tra due punti una funzione che restituisce 0 se i due punti coincidono, 1 se sono distinti (per altre definizioni, si veda → distanza). In uno spazio vettoriale la metrica può essere indotta dalla norma dei vettori. La definizione di una metrica non esaurisce tuttavia la necessità di attribuire un numero a ciascun oggetto geometrico, in modo da rappresentarne la “porzione di spazio occupato” (lunghezza di un arco di curva, area di una superficie, volume di un solido, ampiezza di un angolo). Occorre quindi definire un concetto più generale di misura (→ misura, teoria della).