funzione subarmonica
funzione subarmonica
funzione subarmonica in un insieme Ω ⊆ Rn, funzione u che soddisfa la disuguaglianza −∆u ≤ 0 dove ∆ è l’operatore di Laplace (→ laplaciano). Il nome deriva dal fatto che se u è subarmonica e ν è armonica in Ω, e le due funzioni assumono lo stesso valore sul bordo ∂Ω di Ω, allora u ≤ v in Ω. Questo risultato è conseguenza di un teorema (principio del massimo) secondo cui una funzione u, subarmonica in Ω e continua in Ω̅, assume il massimo sulla frontiera ∂Ω di Ω. Per esempio, per n = 1 e Ω = (a, b), una funzione u(x), continua in [a, b], è subarmonica se u″(x) ≥ 0; in tal caso, u volge la concavità verso l’alto, e assume il massimo in uno dei due estremi a o b; il suo grafico sta al di sotto di quello della corda congiungente i punti (a, u(a)) e (b, u(b)), che è il grafico di una funzione armonica.