funzione implicita
funzione implicita
funzione implicita una funzione φ(x) si dice definita implicitamente dall’equazione ƒ (x, y) = 0 se in un intervallo U risulta ƒ(x, φ(x)) ≡ 0. Una stessa equazione ƒ(x, y) = 0 può definire implicitamente più funzioni φ(x): per esempio, l’equazione x 2 + y 2 − 1 = 0 definisce implicitamente in [−1, 1] le due funzioni
Di fronte a un’equazione ƒ(x, y) = 0 si deve dunque stabilire nell’ordine se essa definisca implicitamente qualche funzione φ, quante ne definisca e che cosa si possa dire di tali funzioni senza possederne la rappresentazione analitica esplicita. Se l’equazione ammette una soluzione (x0, y0), il teorema di → Dini fornisce delle condizioni sufficienti affinché in un intorno W = U × V di P0(x0, y0) l’equazione sia univocamente risolubile rispetto a una delle variabili (per esempio, y) e permette anche di calcolare nel punto x0 le derivate della funzione implicita così individuata. Al di fuori di W in generale esisteranno altre soluzioni e quindi possibilmente altre funzioni definite implicitamente dalla medesima equazione. In corrispondenza di un punto singolare, invece, è possibile che il grafico di una relazione ƒ(x, y) = 0 non sia esprimibile in forma di funzione, ma possa presentare conformazioni più complicate.