funzione complessa

funzione complessa

funzione complessa funzione a valori in C, ma il cui dominio può essere anche R o un suo sottoinsieme: per esempio, la funzione e^ix è una funzione complessa di variabile reale, poiché la variabile x è un qualsiasi numero reale. Invece una funzione ƒ: E → C con E ⊆ C è un’applicazione che associa a ogni numero complesso z ∈ E il numero complesso ƒ(z): è, quindi, una funzione complessa di variabile complessa. Poiché a z corrisponde w = ƒ(z) (con z ∈ E, E ⊆ C, w ∈ C) e z = x + iy, allora w = ƒ(z) = u(x, y) + iv(x, y) e assegnare la funzione ƒ equivale ad assegnare due funzioni reali di variabili reali u = u(x, y) e v = v(x, y).

Nel caso delle funzioni complesse di variabile complessa al termine funzione viene attribuito un significato più ampio in quanto si ammette che a uno stesso valore della variabile indipendente la funzione possa associare non uno solo, ma più valori (→ funzione polidroma).

Per le funzioni complesse si definisce il concetto di continuità analogamente alle funzioni reali, definendo continua in z₀ una funzione complessa ƒ(z) per cui

ovvero: ∀ε > 0, Ǝδ > 0:

essendo I_δ(z₀) un intorno di raggio δ del punto z₀, dove le barrette indicano il modulo di un numero complesso. Per esempio la funzione z ² è una funzione complessa di variabile complessa; la si può esprimere come (x + iy)² = x ² − y ² + 2ixy e quindi, u(x, y) = x ² − y ² e v(x, y) = 2xy. La stessa funzione può essere espressa in coordinate polari come w = ρ²e^{2i θ}, essendo z = ρeⁱ (→ funzione analitica; → olomorfia).