EQUILIBRAMENTO

EQUILIBRAMENTO (fr. équilibrage; sp. compensación; ted. Auswuchtung; ingl. balancing)

Nella costruzione delle macchine a regime periodico l'equilibramento delle masse alterne o rotanti comprende provvedimenti intesi a evitare che durante il funzionamento si verifichino moti perturbatori (oscillazioni) che generati dagli elementi stessi in movimento - sia per la loro stessa natura, sia per eventuali difetti di costruzione - si trasmettono al telaio della macchina attraverso gli elementi di accoppiamento, con azione sempre dannosa, nei riguardi della resistenza, agli elementi in moto, ai supporti, al basamento della macchina e talvolta addirittura pericolose per la stabilità della macchina.

Per ricercare a quali condizioni debba rispondere la distribuzione delle masse in movimento affinché queste non producano gl'inconvenienti sopra accennati, consideriamo una macchina allo stato di regime su appoggi che supponiamo fissi. In tali condizioni, se la macchina è equilibrata, se cioè dagli elementi in moto non si trasmettono oscillazioni ai supporti, questi risentono soltanto delle azioni costanti. Il sistema delle forze a cui è sottoposta la macchina è composto: 1. dalle forze esterne Σ_e comprendenti il peso della macchina e la resistenza applicata all'albero, resistenza che nello stato di regime supponiamo costante; 2. dalle reazioni Σ_r. degli appoggi; 3. dalle forze d'inerzia Σ_i che si generano nei varî organi della macchina in movimento. Le forze motrici o resistenti generate dal fluido che svolge il suo ciclo e le forze di vincolo tra i varî organi della macchina producono sole reazioni interne e formano perciò un sistema equivalente a zero. Applichiamo il principio di d'Alembert e scriviamo l'equazione vettoriale che lo esprime:

Essendo ivi costante la risultante Σ_e delle forze esterne a quella Σ_r delle reazioni d'appoggio, dovrà mantenersi invariabile anche la risultante Σ_i delle forze d'inerzia. Ora, se chiamiamo x, y, z le coordinate di un elemento qualunque di massa m riferito a una terna fissa di assi cartesiani, la forza d'inerzia di tale elemento avrà per componenti sui tre assi rispettivamente

e quindi la risultante delle forze d'inerzia Σ_i avrà per componenti:

Queste componenti sono ordinatamente eguali a quelle che, nelle stesse condizioni, avrebbe tutta la massa M della macchina concentrata nel suo baricentro. Se a, b, c sono le coordinate di quest'ultimo, avremo quindi, le relazioni:

Dovendo la Σ_i restare costante, dovranno anche le sue componenti X, Y, Z essere costanti, e quindi anche

Allora, poiché gli appoggi sono immobili e la macchina deve mantenersi a contatto con essi,

saranno eguali a zero; di conseguenza saranno costanti le componenti della velocità del baricentro e anche esse, per la stessa ragione, nulle. Si conclude così che condizione necessaria perché una macchina sia equilibrata è che il suo baricentro sia immobile. Si può ancora trarre da tale ragionamento un'altra conclusione: essendo nulle le componenti della velocità

del baricentro, saranno nulle anche le componenti della quantità di moto dell'intera massa M supposta concentrata nel baricentro e cioè:

essendo queste tre componenti ordinatamente eguali a quelle della risultante delle quantità di moto dei singoli elementi, avremo ancora:

e potremo così stabilire che la risultante delle quantità di moto dev'essere nulla. Essendo costanti in grandezza e in direzione tanto le forze esterne quanto le reazioni d'appoggio, non varieranno i loro momenti risultanti; discende ancora dalla (1) che dovrà rimaner costante anche il momento risultante delle forze d'inerzia preso rispetto a un punto qualunque, cioè dovranno sussistere le identità:

dove i primi membri sono le proiezioni di tale momento ordinatamente sui tre assi e A, B, C rappresentano tre costanti. Ma quelle formule si possono scrivere diversamente:

ed esprimono allora che le componenti del momento cinetico debbono avere derivate costanti. Siccome la velocità dei varî punti della macchina non possono crescere all'infinito, le tre costanti A, B, C saranno nulle. Si conclude dunque che la coppia d'inerzia deve essere nulla e che il momento delle quantità di moto deve essere costante. Riepilogando quanto è stato detto, perché una macchina sia equilibrata è necessario che le forze d'inerzia formino un sistema equivalente a zero o - il che è lo stesso - le quantità di moto si riducano a una coppia costante.

Esaminiamo ora l'equilibrio di un sistema di masse rotanti intorno a un asse fisso. In primo luogo, dovendo il baricentro del sistema mantenersi immobile, esso sarà un punto dell'asse di rotazione. Riferiamo i varî elementi del sistema a una terna fissa di assi cartesiani O, x, y, z scelta in modo che l'asse Oz coincida con l'asse di rotazione del sistema; un elemento qualunque di massa m e di coordinate x, y, z ha velocità eguale a

se ω è la velocità angolare di rotazione del solido, e una quantità di moto le cui componenti sugli assi hanno ordinatamente le espressioni:

Di conseguenza il momento risultante delle quantità di moto dell'intero sistema ha componenti:

dove I rappresenta il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse di rotazione. Poiché L, M, N debbono restar costanti, è necessario: che ω sia costante; che si abbia Σmxz = 0, Σmyz = 0, il che esprime che l'asse Oz è asse principale d'inerzia. Le quantità di moto si riducono dunque a una coppia di momento costante ω. Se ω non è costante, non lo sarà neppure il momento cinetico; tuttavia il solido deve ancora considerarsi dinamicamente equilibrato. In tal caso il momento cinetico ω I è diretto secondo l'asse di rotazione del solido e il momento della coppia d'inerzia è uguale a ogni istante a

ed è diretto anch'esso secondo l'asse di rotazione.

Le forze d'inerzia Σ_i generano moti vibratorî che si possono decomporre in vibrazioni verticali, trasversali e longitudinali. Considerando le prime di queste, è da notarsi che le Σ_i hanno per componente verticale una grandezza periodica che può esprimersi con una serie di Fourier. Un'armonica generica di questa serie a sen kt genera una vibrazione semplice il cui periodo, in capo a brevissimo tempo, si eguaglia al periodo 2π/k dell'armonica che l'ha generata; la vibrazione però presenta differenza di fase rispetto all'armonica. Quando il periodo dell'armonica è uguale a quello di oscillazione proprio del sistema, la differenza di fase assume il valore di π/2 e si manifesta il fenomeno della risonanza: l'ampiezza delle oscillazioni raggiunge il massimo valore. Essendo k un multiplo della velocità angolare ω di rotazione del corpo, si può dire che ogni armonica produce un effetto di risonanza a una velocità di rotazione determinata del corpo che si considera (numero di giri critico). Il moto vibratorio risultante è dato dalla somma delle vibrazioni elementari corrispondenti alle singole armoniche, ma naturalmente gli effetti più accentuati sono dovuti all'armonica fondamentale. Considerazioni analoghe possono farsi per le vibrazioni trasversali e longitudinali.

Per gli organi di macchine comprendenti elementi animati di moto rotatorio uniforme (masse rotanti), come p. es. i rotori nelle macchine elettriche, nelle pompe cetrifughe, nelle turbine, ecc., si provvede all'equilibramento in sede di progetto, stabilendo innanzi tutto la distribuzione più regolare possibile delle masse intorno all'asse di rotazione; per le masse fortemente eccentriche come le manovelle degli ordinarî manovellismi, si determinano le masse addizionali (contrappesi) necessarie all'equilibramento. Questa determinazione analitica è semplice applicazione di quanto sopra è stato esposto. Supponiamo di dover equilibrare un sistema di masse eccentriche rotanti con velocità costante ω e aventi un asse principale d'inerzia parallelo all'asse di rotazione. In tal caso la forza d'inerzia d'una massa generica può ridursi all'inerzia della massa intera concentrata nel proprio baricentro, perché la coppia d'inerzia dovuta al moto relativo della massa intorno alla retta passante per il suo baricentro e parallela all'asse di rotazione è necessariamente nulla, essendo ω costante ed essendo quella retta un asse principale d'inerzia. Riferendoci a una terna d'assi cartesiani O, x, y, z, solidale col sistema rotante e avente l'asse Oz che coincide con l'asse di rotazione, chiamiamo con a, b, c le coordinate del baricentro di una massa generica m; le componenti della sua forza d'inerzia saranno:

La risultante delle forze d'inerzia dell'intero sistema avrà allora per componenti rispettivamente:

Il momento risultante delle forze d'inerzia avrà per componenti:

Tutte le forze d'inerzia sono state quindi ridotte a due forze P e Q e a due momenti L e M; poiché P è perpendicolare a M possiamo equilibrare la forza P e la coppia M con un'unica forza P′ equipollente a P e tale che il suo momento rispetto all'origine sia uguale a M (fig.1). Analogamente, con una sola forza Q′ si può fare equilibrio a Q e L. Si trovano facilmente le due masse M₁ e M₂ necessarie per fornire la P′ e la Q′: le condizioni a cui debbono rispondere, sono che la risultante e il momento risultante dell'inerzia dell'intero sistema delle masse eccentriche e delle masse addizionali si annullino. Chiamando con x₁, y₁, z₁, e x₂, y₂, z₂, le coordinate dei baricentri di M₁ e M₂, avremo le quattro equazioni a otto incognite:

da cui, fissate alcune condizioni arbitrarie, si possono determinare le rimanenti incognite.

Dopo costruiti, gli organi vengono provati sulle macchine equilibratrici, che permettono di completarne la compensazione.

In pratica si distingue lo squilibrio statico dallo squilibrio dinamico. Il primo significa che il baricentro del corpo è spostato dall'asse di rotazione, ma che questo è parallelo a un asse principale d'inerzia; esso si manifesta anche allo stato di riposo, tendendo a far ruotare il corpo; le forze d'inerzia si riducono a una forza normale all'asse di rotazione. Il secondo significa che l'asse di rotazione passa per il baricentro, ma non coincide con l'asse principale d'inerzia; nella posizione di riposo non si manifesta squilibrio, ma durante il moto le forze d'inerzia, che in questo caso si riducono a una coppia, tendono a rovesciare l'asse di rotazione ed esercitano sui supporti sforzi di senso opposto.

In generale i corpi, o per difetti di costruzione o per imperfetta omogeneità del materiale, sono affetti da ambedue gli squilibrî. Ne derivano oscillazioni di flessione del corpo in rotazione: una semplice oscillazione per lo squilibrio statico, una doppia oscillazione per lo squilibrio dinamico. Di conseguenza la frequenza dell'oscillazione critica dello squilibrio statico è inferiore d'un multiplo a quella dello squilibrio dinamico. Se un corpo ha un numero di giri d'esercizio inferiore al numero delle oscillazioni critiche proprio dello squilibrio dinamico, potrà bastare il solo equilibramento statico, riportare cioè il baricentro sull'asse di rotazione. Ciò si può fare nel maggior numero dei casi per i corpi a forma di disco, essendo in questi la coppia d'inerzia trascurabile.

Esistono diversi tipi di macchine equilibratrici: macchine per l'equilibramento statico, macchine per l'equilibramento dinamico, macchine per l'equilibramento combinato statico e dinamico, bilance per il centro di gravità. Nelle figure 7 e 8 si rappresentano rispettivamente gli schemi di due macchine per determinare lo squilibrio dinamico e lo squilibrio statico. Esse si valgono del metodo elettrico di compensazione (sistema Späth), annullano cioè gli effetti dello squilibrio mediante gl'impulsi di due elettromagneti: dalla misura dell'intensità della corrente d' eccitazione degli elettromagneti e della fase degl'impulsi rispetto alla rotazione del corpo, si determinano la grandezza e il piano dello squilibrio. Sul basamento a è poggiato un telaio b che, per effetto delle azioni trasmessegli dalla rotazione del corpo di prova c, può oscillare intorno all'asse SS, parallelo all'asse di rotazione del corpo c nella macchina per l'equilibramento statico, perpendicolare ad esso nella macchina per l'equilibramento dinamico. Il telaio è richiamato nella posizione orizzontale da due molle d; regolando la loro tensione si può variare il numero di giri critico del sistema. Due tamponi di gomma e limitano le oscillazioni troppo ampie del telaio e anche influiscono sulla variazione del numero di giri critico. Le oscillazioni anche minime sono segnalate da un indicatore f. Il corpo da equilibrare riposa sugli appoggi g, terminanti ognuno con due cuscinetti a rulli perfettamente rettificati per ridurre al minimo le influenze dell'attrito, ed è portato in rotazione, mediante l'accoppiamento n, da un motore a corrente continua i a un numero di giri regolabile per mezzo del volante k; in l è il dispositivo di avviamento; sul tachimetro m si legge il numero di giri.

Nel basamento sono collocati due elettromagneti h i cui indotti sono fissati al telaio oscillante; per mezzo di un contatto ruotante insieme col corpo c per ogni mezzo giro di questo viene inviato un impulso di corrente continua alternativamente all'uno o all'altro dei due elettromagneti che agiscono quindi alternativamente sul telaio, imprimendo ad esso delle oscillazioni. La forza degl'impulsi si regola variando l'intensità della corrente per mezzo di una resistenza; la variazione è riportata da un indice sulla scala q dello squilibrio; le cose si dispongono in modo da leggervi direttamente il valore del manco di equilibrio in grammi.

Il modo di operare è il seguente: messa in moto la macchina e regolatone il numero di giri sul numero di giri critico, si manda una corrente d'intensità qualunque agli elettromagneti; questi imprimeranno al telaio delle oscillazioni che si sovrapporranno a quelle impresse dal corpo c, e a seconda della loro fase rispetto ad esse le renderanno maggiori o minori. Manovrando il volantino p, si varia la posizione del piano dei contatti rispetto al corpo c e di conseguenza la fase delle oscillazioni impresse dagli elettromagneti rispetto alle oscillazioni impresse dal corpo c. Si troverà una posizione per cui le oscillazioni del telaio risultano minime: le oscillazioni cioè impresse dal corpo in rotazione e dagli elettromagneti si troveranno in opposizione. Regolando allora l'intensità della corrente inviata agli elettromagneti si porta il telaio nello stato di calma. Arrestata la macchina si legge la grandezza dello squilibrio sulla scala q. Poi si fa rotare a mano il corpo sino a che un indice solidale con il dispositivo d'accoppiamento del corpo coincide con un indice solidale con il dispositivo dei contatti; lo squilibrio è allora nel piano perpendicolare condotto per l'asse di rotazione.

Queste macchine sono convenienti principalmente nell'industria automobilistica per l'equilibramento degli alberi a gomito e in generale in tutti quei casi in cui l'equilibramento combinato statico e dinamico presenta troppa difficoltà. Si procede con esse prima all'equilibramento statico e poi all'equilibramento dinamico.

Le macchine per l'equilibramento combinato statico e dinamico si basano sul principio seguente: la forza Q₁ e la coppia Pl, derivanti rispettivamente dallo squilibrio statico e dinamico (fig. 9) possono essere ridotte a due sole forze P e Q; la compensazione di queste due forze si può operare separatamente mediante due pesi compensatori disposti in due piani scelti ad arbitrio, normali all'asse di rotazione. La macchina fig. 11 è composta da un telaio oscillante intorno all'asse 3; il motore di comando e i supporti possono essere spostati in senso longitudinale sul telaio, in modo che il corpo da equilibrare prenda la posizione voluta rispetto all'asse. Nella fig. 10 il corpo è disposto in modo che uno dei piani previsti per l'equilibramento coincida con l'asse d'oscillazione; una delle due forze P e Q, che possiamo immaginare giacenti rispettivamente nei due piani previsti per l'equilibramento, venendo a incontrare l'asse di oscillazione, non produce alcun effetto sul telaio. Resta dunque da equilibrare una sola forza, il che si fa coi procedimenti descritti. Invertendo poi la posizione del corpo, in modo che il secondo piano previsto per l'equilibramento venga a trovarsi sull'asse 3, si equilibra la seconda forza.

Le bilance per il centro di gravità dànno la determinazione precisa dello squilibrio statico e permettono di avvicinare a 0,005 mm. il baricentro all'asse di rotazione. Un telaio, oscillante su due coltelli, sostiene il corpo in esame. La sua posizione orizzontale è indicata da livelle a bolla d'aria. Per corpi più ingombranti e più pesanti la disposizione varia e il telaio è sostituito da due traverse oscillanti richiamate alla posizione orizzontale da molle. Appoggiato il corpo sui due supporti solidali con il telaio, lo si fa rotare finché la bilancia prenda una posizione perfettamente orizzontale; il piano dello squilibrio è allora verticale e passa per i punti di appoggio della bilancia. Si ruota il corpo di 90° e si pesa lo squilibrio spostando un peso lungo una scala graduata. Nella fig. 6 s'illustrano alcuni tipi di macchine per l'equilibramento; di esse, alcune sono macchine per l'equilibramento statico e dinamico diverse tra loro per la forma, pur essendo tutte basate sul dispositivo elettrico di compensazione Späth; altre sono bilance per il centro di gravità.

In alcuni meccanismi compaiono masse animate da moto alterno, p. es. stantuffi, e masse animate da moto complesso partecipante del moto rotatorio e del moto alterno, p. es. bielle. Il peso di queste ultime masse si considera aggiunto per una parte al peso delle masse alterne e per la rimanente al peso delle masse rotanti. Per l'equilibramento delle masse alterne si ricorre a disposizioni speciali dei varî elementi del meccanismo, all'applicazione di opportuni contrappesi rotanti o anche di contrappesi dotati di moto alterno contrario.

Bibl.: R. Devillers, Le moteur à explosion, Parigi 1920; "Hütte", manuale enciclopedico dell'ingegneria moderna, II, Milano 1928.