equazioni di Euler

equazioni di Euler

Sistema di equazioni differenziali che descrive la densità di massa ϱ(x,t)(x∈ℝ³,t∈ℝ) e il moto di un fluido non viscoso, ossia la sua velocità u(x,t) in ogni punto x e in ogni istante t. L’ipotesi di assenza di viscosità significa che la forza F esercitata dal fluido su una superficie molto piccola δS al suo interno è F=ϱnδS, dove ϱ(x,t) è una funzione scalare, indipendente dal vettore di lunghezza unitaria n ortogonale a δS e detta pressione. Esplicitamente, le equazioni di Euler sono

[1]

[2]

con k=1,2,3. Osserviamo che si tratta di quattro equazioni nelle quattro incognite ϱ(x,t) e u_ϰ(x,t) (k=1,2,3). La prima di esse esprime semplicemente la richiesta che non vi sia creazione o distruzione di massa, ossia di assenza di pozzi. Consideriamo infatti una piccola superficie chiusa S che delimita un volume V all’interno del fluido: la variazione della massa contenuta al suo interno per unità di tempo sarà pari all’integrale ∫_Σ ϱu∙ndS e dunque, facendo uso del teorema della divergenza, a ∫_ῃ∇(ϱu)dV. Nel caso in cui il volume V sia infinitesimo e pari a δV quest’ultimo integrale sarà pari a ∇(ϱu)δV. Indicando ora con ΔϱδV la variazione della massa contenuta in δV nell’intervallo di tempo Δt, si ha

[3]

dove il segno meno è dovuto al fatto che abbiamo scelto il versore n uscente dalla superficie δS. Dividendo per δV e passando al limite per Δt→0 otteniamo il risultato desiderato. Le altre tre equazioni di Euler esprimono invece la validità della legge (generalizzata) di Newton F=dp/dt, dove p indica l’impulso. In effetti, la forza totale esercitata su un volume V racchiuso da una superficie S è, in accordo all’ipotesi di assenza di viscosità, pari a

[4]

Come nel caso precedente, considerando un volume infinitesimo δV limitato dalla superficie δS otteniamo −pnδS=−∇pδV. La massa in esso contenuta sarà pari a ϱδV e la derivata dp/dt del suo impulso a

[5]

dove nell’ultimo passaggio abbiamo fatto uso della regola della derivata della funzione composta e dell’ovvia identità

[6]

Uguagliando i due termini e ancora una volta dividendo per δV la dimostrazione è completa. La generalizzazione delle equazioni di Euler al caso di un fluido viscoso prende il nome di equazioni di Navier-Stokes.

→ Simulazioni numeriche