DIVERGENZA

DIVERGENZA

. Termine della fisica matematica. In una regione dello spazio s'immagini un fluido in moto (v. cinematica, nn. 40-43) e sia v (Pt) la velocità, di cui, in un generico istante t, risulta animata la particella di fluido, che passa per un generico punto P. Fissata in codesta regione una superficie chiusa σ, se ne prenda un elemento, od areola infinitesima, dσ (cfr. fig.), e, considerata la normale a questo dσ, orientata verso l'esterno, se ne indichi con n il versore (cioè il vettore di lunghezza 1, che ha la direzione orientata di essa). Nel tempuscolo dt, consecutivo all'istante t, una particella di fluido che inizialmente si trovava su dσ, descrive il cammino elementare rappresentato da v dt, cosicché il volume complessivo di fluido, che in codesto tempuscolo traversa dσ, è dato da un cilindretto di base dσ e di altezza uguale alla proiezione v_n dt = v × n di dì v dt sulla direzione orientata di n. Questo volume è dunque dato da v_n dtdσ = v × n dtdσ, e, naturalmente, risulta positivo o negativo, secondo che traverso dσ si è avuto un'uscita o un ingresso di fluido, rispetto alla superficie chiusa σ. Il rapporto v_n dσ = v × ndσ di questo volume al tempuscolo dt cioè il volume di fluido che attraversa il dσ per unità di tempo, si dice flusso (elementare), e si chiama senz'altro flusso (uscente per unità di tempo) traverso la superficie σ la somma ϕ dei flussi elementari, relativi ai singoli elementi dσ di σ, cioè

Dividendo ϕ per il volume S della regione di spazio limitata da σ, si ha il flusso medio per unità di volume. Col consueto passaggio al limite si deduce da questa valutazione in media il "flusso locale" in un generico posto P, considerando il limite cui tende il rapporto ϕ/S, quando il volume S tende a 0, contraendosi intorno a P. Questo limite si dice, con O. Heaviside, divergenza in P della distribuzione o "campo" della velocità v. Si ha dunque

e, poiché dalla (1), trasformando, a norma della formula del Green (v.), l'integrale superficiale relativo a σ in un integrale esteso alla regione S racchiusa, si trae

dove v_z, v_y, v_z denotano le componenti della velocità v secondo gli assi fissi, si conclude, in base alla (2)

Dalle (1), (3), (4) si deduce il cosiddetto teorema della divergenza

cioè l'integrale della divergenza, esteso alla regione limitata da una superficie chiusa σ, è, istante per istante, uguale al flusso uscente (per unità di tempo) da σ.

Se in ogni punto della regione, dove avviene il moto, la divergenza della velocità v è nulla, è pur nullo, per la (5), il flusso uscente da ogni superficie chiusa, tracciata in codesta regione. La distribuzione delle velocità v si dice in tal caso solenoidale (dal gr. σωλήν "tubo"), perché se ad un generico istante si considera un tubo di flusso, cioè la superficie tubolare generata dalle linee di flusso (vedi cinematica, n. N₄₄) passanti per i punti di una qualsiasi linea chiusa (che non sia di flusso), il flusso traverso tutte le possibili sezioni trasversali del tubo è sempre lo stesso (costante del tubo).

Notiamo ancora che il principio della conservazione della massa si traduce nella condizione locale (equazione di continuità)

dove μ denota la densità del fluido in moto (come funzione del posto e del tempo). Per i fluidi incompressibili (μ = cost.) quest'equazione si riduce a div v = 0.

I concetti di flusso e di divergenza, suggeriti nel modo più spontaneo dalla precedente immagine idrocinetica, si estendono al caso di ogni possibile "campo vettoriale" cioè a una qualsiasi regione dello spazio, in cui sia fatto corrispondere a ogni punto, con qualsivoglia significato fisico, un vettore (generalmente variabile anche nel tempo). Essi trovano così applicazioni importanti in quasi tutti i rami della fisica matematica.

Ad es. nei campi di forza newtoniani (dovuti a masse ponderali o a cariche elettriche e magnetiche) si dimostra che in ogni punto esterno alle masse potenzianti si ha per la forza (unitaria) F del campo div F = 0, mentre in ogni punto interno a codeste masse div F = −4πkμ dove μ denota la densità e k una costante (v. potenziale).