CODAZZI, Delfino
CODAZZI, Delfino
Matematico, nato a Lodi il 7 marzo 1824, morto a Pavia il 21 luglio 1873. Fu dapprima insegnante di scuole medie a Lodi e poi a Pavia, dove, nel 1865, ebbe presso quell'università la cattedra di algebra complementare e geometria analitica, che tenne fino alla morte.
Il C. pubblicò, nelle prime due serie degli Annali di matematica, numerosi lavori sulla geometria differenziale delle superficie e sulla teoria delle coordinate curvilinee nel piano e nello spazio. Nel 1861 con una poderosa memoria ottenne dall'Istituto di Francia, alla pari con J.-É.-É. Bour e con O. Bonnet, una menzione onorevole nel concorso al gran premio delle matematiche, che l'Accademia delle scienze di Parigi aveva bandito nel 1859 sullo studio delle superficie applicabili su una superficie data. In codesta memoria (Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les autres, in Mém. présentés par divers savants à l'Acad. des sciences, XXVII, 1882; cfr. anche Sulle coordinate curvilinee d'una superficie e dello spazio, in Ann. di mat., 2ª serie, I, II, IV, 1867-69) si trovano stabilite quelle formule fondamentali per la geometria differenziale delle superficie, che generalmente passano anche oggi sotto il nome del Codazzi, per quanto esse si fossero già presentate qualche anno prima (1856) a G. Mainardi.
Formule del Codazzi o, meglio, di Mainardi-Codazzi. - Secondo l'impostazione del Gauss, la teoria delle superficie si riduce essenzialmente allo studio di due forme quadratiche differenziali binarie simultanee
di cui la prima è definita e dà, a meno d'infinitesimi d'ordine superiore, il quadrato della distanza dei due punti della superficie, aventi le coordinate, u, v e u + du, v + dv, mentre la seconda dà, analogamente, il doppio della distanza (opportunamente orientata) del punto u, v dal piano tangente alla superficie nel punto u + du, v + dv. Poiché la superficie dipende da tre sole funzioni di due argomenti, i sei coefficienti delle corrispondenti forme (1) debbono essere legati da un sistema di tre equazioni differenziali. Di queste una - già assegnata dal Gauss - si può scrivere
e dice che il rapporto dei discriminanti delle due forme è uguale, punto per punto, alla curvatura totale K della superficie, la quale, secondo il celebre teorema del Gauss, dipende esclusivamente dalla prima forma. Le altre due equazioni sono appunto le formule di Mainardi-Codazzi. Ove s'introducano i cosiddetti simboli di E. B. Christoffel (v. X, p. 177), esse si possono scrivere
ed esprimono l'annullarsi identico del cosiddetto covariante trilineare della seconda forma fondamentale rispetto alla prima. Le (2), (3) dànno, nel loro insieme, le condizioni necessarie e sufficienti perché esista una superficie, che ammetta le (1) come prima e seconda forma fondamentale. Verificate codeste condizioni, la corrispondente superficie è unica e determinata, a meno di un movimento rigido nello spazio.