positivo, definito

positivo, definito

Proprietà di una matrice quadrata (➔ matrice), che generalizza il concetto di positività di un numero scalare (➔ scalare). Consideriamo la definizione per una matrice quadrata a numeri reali. Una matrice quadrata A di dimensione m è definita p. se per ogni vettore colonna x non nullo, si ha x′Ax>0 dove x′ denota la trasposta di x (➔ vettore). L’espressione x′Ax>0 è chiamata forma quadratica ed equivale a x′Ax=Σ_ijx_ia_ijx_j>0 dove a_ij è l’elemento (i,j)-esimo della matrice A, mentre x=(x₁,...x_m). ● La matrice A si dice semidefinita p. se, per ogni vettore colonna x non nullo, si ha x′Ax≥0. La matrice A è definita negativa se, per ogni vettore colonna x non nullo, si ha x′Ax<0, quindi anche se −A è definita negativa. Analogamente, una matrice A è semidefinita negativa se la matrice −A è semidefinita positiva (➔ anche negativo, definito). ● Una matrice è definita p. se e solo se i suoi autovalori sono tutti positivi (➔ autovettore). In particolare, una matrice diagonale è definita p. se e solo se tutti i suoi elementi sulla diagonale sono strettamente positivi. Come conseguenza, il determinante (➔) di una matrice definita p. è sempre p. (➔ matrice). Per es., la matrice

è definita p.: infatti, dato un qualsiasi vettore

x₁=(x₁,x₂), si ha

x′Ax=x²₁−2x₁x₂−2x₂x₁+5x²₂=(x₁−2x₂)²+x²₂≥0,

si ha l’uguaglianza se e solo se x₁=x₂=0. L’hessiano (➔) di una funzione concava è definito negativo. La matrice di covarianze di un vettore aleatorio X=(X₁,...,X_m) è invece definita p. (➔ covarianza). È vero anche il viceversa: ogni matrice definita p. è la matrice di covarianza di una distribuzione di probabilità multivariata (➔ distribuzione di probabilità).