coniugio
coniugio
coniugio termine che generalmente indica una relazione simmetrica e involutoria, diversamente definita a seconda del contesto.
Coniugio tra numeri complessi
Due numeri complessi si dicono coniugati se hanno stessa parte reale e parte immaginaria l’una opposta dell’altra. Per esempio, sono tra loro coniugati i numeri a + ib e a − ib. Il coniugato di un numero complesso z è indicato con il simbolo z̅. Due numeri complessi coniugati hanno uguale norma, data dal loro prodotto.
Coniugio in un gruppo
Due elementi g1 e g2 di un gruppo G si dicono coniugati se esiste un elemento h di G tale che g2 = hg1h−1. Più in generale, due sottogruppi H e K di un gruppo G si dicono sottogruppi coniugati se esiste un elemento g di G tale che H = {gkg−1: k ∈ K}; in tal caso si scrive più brevemente H = gKg−1. Il coniugio è una relazione di equivalenza su G, le cui classi di equivalenza sono dette classi di coniugio. Esso determina un’azione di G su sé stesso, definita da g ∗ h = ghg−1.
Coniugio tra matrici
Due matrici quadrate A e B di ordine n e a coefficienti in un campo K si dicono coniugate se esiste una matrice invertibile C tale che A = CBC−1. Come nel caso dei gruppi, il coniugio, così definito, è una relazione di equivalenza sull’algebra di tali matrici quadrate di ordine n a coefficienti in K M(n, K). Se V = Kn è lo spazio vettoriale su cui M(n, K) agisce in modo naturale, allora due matrici A e B sono coniugate se e solo se esse rappresentano la stessa applicazione lineare su V relativamente a due opportune basi B1 e B2 di V: la matrice C che lega A e B coinciderà allora con la matrice del cambiamento di base che lega B1 e B2. Pertanto si può pensare a una classe di coniugio di matrici come a un’applicazione lineare su V.
Coniugio rispetto a una conica
Relazione tra punti del piano determinata da una conica e dalle polari dei punti rispetto a tale conica. Due punti si dicono coniugati rispetto a una conica se ciascuno di essi giace sulla polare dell’altro. Dualmente, due rette si dicono coniugate se ciascuna di esse passa per il polo dell’altra. Su ogni retta del piano esistono infinite coppie di punti coniugati rispetto a una conica, che si corrispondono in una involuzione avente come punti doppi le intersezioni della retta con la conica. Dualmente, da ogni punto del piano non appartenente a una conica escono infinite coppie di rette coniugate rispetto alla conica (ossia separate armonicamente dalle tangenti alla conica condotte per il punto comune) e si corrispondono in un’involuzione che ha per rette doppie le tangenti alla conica. Una relazione analoga sussiste nello spazio rispetto a una quadrica.