conica

conica

cònica [s.f. dall'agg. conico, propr. "sezione conica"] [ALG] Curva che si ottiene segando un cono circolare (retto od obliquo) con un piano. Il cono va pensato come luogo di rette, e non di semirette, uscenti da un vertice V, cioè costituito, come si usa dire nel linguaggio elementare, da due "semiconi" opposti al vertice. Si presentano i seguenti casi: (a) se il piano, π, è parallelo a due generatrici, g' e g'', queste dividono la superficie del cono in due parti: le generatrici dell'una parte sono incontrate da π da una medesima banda rispetto al vertice (in un "semicono"), le altre dalla banda opposta; si ha come intersezione un'iperbole (figg. 1 e 4); (b) se π è parallelo a una sola generatrice, g, incontra tutte le altre generatrici da una stessa parte di V: la sezione è una parabola (figg. 2 e 5); (c) se π non è parallelo ad alcuna generatrice (di modo che le sega tutte da una stessa parte del vertice), la curva sezione è un'ellisse (figg. 3 e 6), in partic. una circonferenza se π è ortogonale all'asse del cono. Se poi il piano π passa per il vertice V, l'intersezione di esso con il cono si riduce a una coppia di rette (che possono essere reali e distinte, reali e coincidenti oppure complesse coniugate; i tre casi sono rispettiv. in analogia con i casi a, b, c di cui sopra); nella famiglia delle c. vanno quindi incluse anche le coppie di rette complanari, che si sogliono chiamare c. spezzate o degeneri. Alle stesse curve prima definite come sezioni coniche si può pervenire con costruzioni di carattere elementare. Tra le varie possibili, ricordiamo qui quelle derivanti dalle cosiddette proprietà focali, secondo il punto di vista per cui una c. (che non sia una circonferenza) è il luogo dei punti le cui distanze da un punto fisso (detto fuoco) e da una retta fissa (direttrice relativa al fuoco considerato) stanno in rapporto costante; tale rapporto costante si chiama eccentricità della c. e si suole indicare con e: a seconda che e<1, e=1, e>1, si tratta rispettivam., di un'ellisse o di una parabola o di un'iperbole (dall'una all'altra specie di c. si passa così per variazione continua dell'eccentricità); in partic., l'iperbole (fig. 4) è il luogo dei punti M le cui distanze da due punti fissi F, F' (fuochi) hanno differenza costante invalore assoluto, la parabola (fig. 5) è il luogo dei punti M equidistanti da un punto F (il fuoco) e da una retta d (direttrice), l'ellisse (fig. 6) è il luogo dei punti M le cui distanze da due punti fissi F, F' (fuochi) hanno somma costante. Dal punto di vista analitico, le c. sono definite, come le curve rappresentate, in coordinate cartesiane (x, y) da un'equazione lagebrica di 2° grado: 1₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y2+2a₁₃x+2a₂₃y₃₃=0. L'equazione di una c. dipende da sei coefficienti, ma ciò che conta è il rapporto di cinque di essi al sesto (in quanto è lecito moltiplicare o dividere il suo primo membro per una costante); dunque, essendo cinque i coefficienti essenziali, si ha che per cinque punti generici di un piano passa una c. e una soltanto. La teoria delle c. (alla loro classificazione, le loro proprietà, ecc.) può essere sviluppata in modo completo con i metodi analitici. Per es., una c. è non degenere quando e soltanto quando il determinante A dei coefficienti della sua equazione, il cosidetto invariante cubico, è diverso da zero; se poi sono nulli tutti i minori di ordine due della matrice considerata (ossia senza la caratteristica l), la c. è costituita da una retta contata due volte e la sua equazione può ridursi al tipo (ax+by-c)²=0. Inoltre, una c. è ellisse, parabola o iperbole a seconda che l'invariante quadratico a₁₁a₂₂-a²₁₂ sia, rispettivam., positivo, nullo o negativo. Per altre questioni o proprietà, → ellisse; iperbole; parabola.