matrici, congruenza di
matrici, congruenza di
matrici, congruenza di in algebra lineare, relazione di equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine con elementi di un campo K. Due matrici quadrate A e B appartenenti all’algebra M(n, K) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile C tale che A = CBC T, dove C T indica la matrice trasposta di C. La congruenza è una relazione di equivalenza su M(n, K), le cui classi di equivalenza sono dette classi di congruenza. Il rango di una matrice è invariante per congruenza: due matrici congruenti hanno cioè lo stesso rango. Inoltre, se una matrice è congruente a una matrice simmetrica (antisimmetrica), allora è anch’essa simmetrica (rispettivamente antisimmetrica).
Se V = Kn è lo spazio vettoriale su cui M(n, K) agisce in modo naturale, allora due matrici A e B sono congruenti se e solo se esse rappresentano la stessa forma bilineare su V relativamente a due opportune basi B1 e B2 di V: la matrice C che lega A e B coincide allora con la matrice del cambiamento di base che lega B1 e B2. Pertanto, si può pensare a una classe di congruenza di matrici come a una forma bilineare su V. Secondo tale equivalenza, a classi di congruenza di matrici simmetriche corrispondono forme bilineari simmetriche, mentre a classi di congruenza di matrici antisimmetriche corrispondono forme bilineari antisimmetriche.
Nel caso in cui K è il campo R dei numeri reali o il campo C dei numeri complessi, è allora possibile classificare le classi di congruenza delle matrici simmetriche attraverso le nozioni di rango e → segnatura:
• se K = R, allora due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango e la stessa segnatura (→ Sylvester, teorema di);
• se K = C, allora due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.
Ciò implica in particolare che, nel caso reale e nel caso complesso, una matrice simmetrica è sempre congruente a una matrice diagonale. Ciò significa che una forma bilineare simmetrica ammette sempre una base (che è detta ortogonale rispetto a essa) relativamente alla quale è espressa da una matrice diagonale.