Poincare, congettura di

Poincare, congettura di

Poincaré, congettura di congettura avanzata da H. Poincaré nel 1904, in anni in cui venivano gettate le basi di quella branca della matematica denominata da Poincaré stesso analysis situs e che sarà poi detta topologia. La congettura, che costituisce uno dei → problemi del millennio, afferma che una varietà tridimensionale compatta e semplicemente connessa (cioè connessa per archi e tale che ogni curva chiusa della varietà può essere contratta in maniera continua fino a ridursi a un punto, come può farsi su una superficie sferica ma non, per esempio, su un toro) è omeomorfa alla sfera tridimensionale dello spazio euclideo a quattro dimensioni. In termini intuitivi, l’enunciato asserisce che le sfere tridimensionali sono gli unici possibili spazi tridimensionali limitati che non contengono buchi. Successivamente, la congettura venne generalizzata a qualsiasi dimensione: la congettura di Poincaré generalizzata afferma che una qualsiasi varietà n-dimensionale compatta e omotopicamente equivalente alla n-sfera è omeomorfa alla n-sfera (→ omotopia). Per n = 3 si ottiene la congettura di Poincaré originale, poiché una varietà tridimensionale è omotopicamente equivalente a una sfera se e solo se è semplicemente connessa (ma ciò non è vero per n > 3). Il caso n = 1 è banale. Il problema era già stato risolto affermativamente, ancor prima di Poincaré, per n = 2. Nel 1960 S. Smale dimostrò che la congettura è vera per n > 4 meritandosi per questo la Medaglia Fields. Nel 1981, M.H. Freedman dimostrò che la congettura è vera per n = 4, ricevendo anch’egli la Medaglia Fields. Il problema nel caso n = 3 è stato definitivamente risolto, con alcuni articoli pubblicati in rete a partire dal 2002, da G. Perel’man. Questo è perciò il primo problema del millennio risolto, ma Perel’man, oltre ad aver rifiutato la Medaglia Fields, ha rifiutato anche il premio da un milione di dollari destinato ai risolutori dei problemi del millennio.