complesso simpliciale astratto
complesso simpliciale astratto
complesso simpliciale astratto astrazione combinatoria del concetto di → complesso simpliciale euclideo. Un complesso simpliciale astratto è una coppia K = (V, Δ) dove V è un insieme e Δ è una famiglia di sottoinsiemi di V, detti facce del complesso, tale che ogni sottoinsieme di una faccia è una faccia. Gli elementi v di V tali che {v} sia una faccia si dicono vertici del complesso simpliciale astratto. Talvolta, per comodità, nella definizione di complesso simpliciale astratto si richiede che tutti gli elementi di V siano vertici. La dimensione di una faccia eguaglia la sua cardinalità diminuita di 1. La dimensione di un complesso simpliciale astratto, se esiste, è la massima dimensione di una sua faccia; altrimenti si dice che il complesso ha dimensione infinita. Un simplesso astratto è un complesso simpliciale astratto finito (V, Δ) in cui Δ contiene tutti i sottoinsiemi di V.
Dato un complesso simpliciale astratto K = (V, Δ), il complesso simpliciale astratto duale di K ha come facce i sottoinsiemi σ tali che V σ non è una faccia di K. Tale complesso è anche detto duale di Alexander di K.
Ogni complesso simpliciale euclideo K determina un complesso simpliciale astratto (V, Δ) in cui V è l’insieme dei vertici di K e un insieme di vertici appartiene a Δ se e solo se il suo inviluppo convesso è una faccia di K. D’altro canto, a ogni complesso simpliciale astratto (V, Δ) finito (cioè con V insieme finito) si associa un complesso simpliciale euclideo |Δ|, detto realizzazione geometrica standard del complesso simpliciale astratto: se RV è lo spazio euclideo di base V, le facce di |Δ| sono i simplessi euclidei standard dati dalle facce di Δ. Una realizzazione geometrica di un complesso simpliciale astratto A è un complesso simpliciale euclideo E tale che esiste una corrispondenza biunivoca tra le facce di A e quelle di E che preserva le inclusioni. La realizzazione geometrica standard è una particolare realizzazione geometrica. Con abuso di linguaggio, identificando un complesso simpliciale con il suo supporto, si dice che una realizzazione geometrica di un complesso simpliciale astratto è un qualsiasi spazio topologico omeomorfo alla sua realizzazione geometrica standard.