avversione

avversione

Atteggiamento ostile o negativo nei confronti di una persona e, per analogia, di una situazione o di un’alternativa.

Avversione al rischio

In una versione ingenua, atteggiamento negativo verso situazioni economico-finanziarie che implicano rischio. È codificata in termini più precisi mediante confronto fra una situazione rischiosa, riassunta da una distribuzione di probabilità di guadagno, X, e una situazione certa, di guadagno c, pari al valore atteso [indicato con E(X)] della X. È strettamente avverso al rischio chi, posto di fronte alla scelta fra le due alternative, preferisce sempre (ovvero qualunque sia la X) la situazione certa. Un individuo avverso al rischio, per es., preferisce ricevere 1 euro con certezza, piuttosto che ricevere uno dei 100 biglietti di una lotteria in cui il premio per il vincitore (unico) è di 100 euro.

Funzione di utilità di Von Neumann-Morgenstern

In opportuni modelli stilizzati, le preferenze di un individuo di fronte a situazioni aleatorie sono riassunte applicando l’operatore valore atteso detto anche speranza matematica (➔ valore atteso), a una conveniente funzione di utilità, u(x) della ricchezza certa x. La funzione u(x) è detta funzione di utilità di Von Neumann-Morgenstern o neobernoulliana. Si ha che X è debolmente preferita a Y se e solo se risulta E[u(X)]≥E[u(Y)], cioè se l’utilità attesa, sulla base della funzione u, della situazione X è non minore di quella della situazione Y. Se anche Y è debolmente preferita a X, X e Y sono indifferenti, altrimenti la preferenza per X è stretta. Ne consegue che la funzione di utilità bernoulliana di un agente è definita a meno di una trasformazione lineare positiva. Cioè, se u(x) è funzione di utilità di un agente lo è anche v(x) = au(x) + b per ogni a positivo. La funzione di utilità di un individuo strettamente avverso al rischio deve essere tale da far risultare, per ogni situazione aleatoria, X, u[E(X)]>E[u(X)]. Si dimostra che la funzione di utilità di un individuo avverso al rischio è crescente e concava, ossia, in condizioni di regolarità in cui u(x) sia almeno due volte derivabile, risulta u′(x)>0 e u″(x)>0 per ogni x.

Funzione di avversione assoluta al rischio locale

Una misura dell’a. al rischio implicita in una funzione di utilità bernoulliana u(x) è data dalla funzione r_A(x, u)=−u″(x)/u′(x) opposto del rapporto fra derivata seconda e derivata prima della u(x). Si noti intanto che r_A(x) è invariante rispetto a trasformazioni lineari della u(x); tecnicamente posto v(x)=au(x)+b risulta

r_A(x, v)=−v″(x)/v′(x)=−u″(x)/u′(x)=r_A(x, u).

La funzione r_A(x) è detta funzione di a. assoluta al rischio locale o coefficiente di Arrow-Pratt. A questi due studiosi è riconosciuta la paternità della introduzione di tale misura, anche se il primo a scoprirne e descriverne chiaramente le proprietà fu B. de Finetti (Sulla preferibilità, «Giornale degli Economisti e Annali di Economia», 1952, 11). Intuitivamente la r_A(x, u) misura in x la concavità della u (cioè la curvatura) della u, normalizzata mediante la divisione per u′(x) (quanto più alta è la curvatura della u, tanto più avverso al rischio è il soggetto). Più tecnicamente, il ruolo della r_A(x) si comprende introducendo gli ulteriori concetti di certo equivalente (che Bernoulli chiamava speranza morale) di una lotteria, CEX, l’importo certo indifferente alla lotteria X, per cui risulta u(CEX)=E[u(X)] e di premio al rischio, π(X)=E(X)−CEX, differenza fra speranza matematica e speranza morale di X. Si dice che l’individuo 1 con funzione di utilità u₁(x) è più avverso al rischio dell’individuo 2 con funzione u₂(x) se per ogni x risulta r_A(x, u₁)>−r_A(x, u₂) e si dimostra che in tal caso per ogni X si ha CE₁X<CE₂ X e di conseguenza π₁(X)>π₂(X).

Funzione di avversione relativa al rischio

È la funzione r_R(x, u)=x r_A(x, u), utilizzata per misurare l’a. al rischio quando si faccia riferimento a lotterie i cui esiti sono guadagni percentuali (anziché assoluti) rispetto alla ricchezza iniziale dell’agente. Nelle applicazioni economiche si utilizzano spesso funzioni di utilità con a. relativa costante (in gergo CRRA, Constant Relative Risk Aversion) o decrescente; molto utilizzate sono anche le funzioni di utilità con a. assoluta al rischio decrescente in modo iperbolico (HARA, Hyperbolic Absolute Risk Aversion) e comode nelle applicazioni (anche se meno realistiche) le funzioni con a. al rischio assoluta costante (CARA, Constant Absolute Risk Aversion).